Динамическая устойчивость упругих систем

140

[гл. Vl

НI!УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ

малых амплитуд, когда можно пренебречь нелинеяными чле нами, получаем систему уравнениЯ 4n2 db = ( 1 + u. _ п'А) а _ п!1 Ь о dt 1 • ~ ' 4n2 da = - ( 1 - u.- n~) Ь- n!:J. а о dt 1 ~ •

Подстановка

а= aoeht, Ь = boeht

приводит к характеристическому уравнению

4n2h

п!}.

-7t--O

1+11--n~

=0.

n!:J. 4n2h -т.--о-

Решение этого уравнения дает: () h=-+irz

V:J.~-(1-n)'A-в.

(6.12)

Максимального значения характеристический показатель достигает вблизи 6 = 2Q, где он равен 11-Q hmax~2-e. В общем случае приходится прибегать к численному интегрированию, которое, впрочем, выполняется довольно просто. Взяв в качестве интервала времени половину периода возбуждающей нагрузки М= ; , получаем по «методу

касательных»:

ak+l = ak + ~ak, bk+l = bk + !::.Ьk,

где

t:.ak ~ 4: 11 [- ( 1 - _}L- п'А) bk- п .... !:J. ak- q.r (ak, bk)], !::.Ьk = 4: 2 [ ( 1 + !L - n'A) ak- п; bk + Ф ( ak, bk)] •