Динамическая устойчивость упругих систем

§ 23]

137

ВЫВОД ·УРАВНЕНИЙ УСТАНОВЛЕНИЯ

откуда

а11=а22=О, а12= 2!J-Q2, а 21 =- 2 [Q 2 (l +!J->-~].

Легко видеть, что при

6 < 2QVl+!J-.

т. е. во всей области существования первого решения (фиг. 29, в), будет соблюдаться неравенство 1 ан а121 > О, й21 й22 при этом, однако, а 11 + а 22 ==О. Это значит, что в кон сервативном случае оба характеристических числа будут чисто мнимыми, т. е. возмущения, хотя и остаются ограни ченными во времени, .но не затухают асимптотически. Этот случай относится, по Ляпунову, к числу сомнительных, когда первое приближение оказывается недостаточным для того, чтобы судить об устойчивости (неустойчивости) решений. Этот результат является, однако, результатом переупроще ния задачи. Достаточно предположить наличие сколь угодно малого затухания, чтобы получить а 11 + а2- 2 < О, что обес печивает так называемую «асимптотическую» устойчивость решения. Поступая аналогичным образом, можно показать, что второе решение Ь = _l_,/"l-n 9 -u. (• ... r - Y , n r ~ является неустойчивым. Соответствующие выкладки легко проделает сам читатель. 4. Выше имелась в виду устойчивость по отношению к малым возмущениям, или, короче, «устойчивость в .м,ало.м,». Для практических приложений важное значение имеет также устойчивость по отношению к возмущениям конечной вели чины, или «устойчивость в большом,». Поясним это на при мере (фиг. 43). · Допустим, что система находится вне резонансной обла сти, причем возбуждающая частота меньше, чем низшая критическая частота (ОМ< ОС). В этом случае нулевое