Динамическая устойчивость упругих систем

133

§ 23]

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ УСТАНОВЛЕНИЯ

Приравнивая нулю коэффициенты при sin ~ и cos ~, по лучим систему уравнений: а" +2ва'- 6Ь' + [ Q9(1 + 11)- 0:) а-в6Ь+Ф(а, Ь) =О, Ь" + 2вЬ' + IJa' + [29 (1-11)-- 0:] Ь +вfJa+ ЧГ(а, Ь) =О. Эту систему можно упростить, если учесть неравенства (6.2) 2t и относительную малость затухания Q ~ 1. В результате

получим следующие уравнения установления:

та·ким образом, мы пришли к системе двух дифферен циальных уравнений первого порядка, коэффициенты кото рых уже не содержат времени явно. Исследование этих уравнений представляет гораздо менее сложную задачу, чем исследование исходного уравнения (5.1). 2. Уравнения для установившихся амплитуд могут быть nолучены из (6.3), если положить:

da db dt =dt=O.

Эти уравнения совпадают, очевидно, с (5.11). Пусть

-одно из стационарных решений, удовлетворяющих урав нениям (5.11). Исследуем его устойчивость, для чего рас смотрим поведение системы при слегка возмущенных значе ниях амплитуд: а=а 0 +Е. } Ь= bo+1J· (6.4)