Динамическая устойчивость упругих систем

ГЛАВА ШЕСТАЯ

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ

§ 23. Вывод уравнений установления. Устойчивость колебаний

1. Составим уравнения установления колебаний, происхо дящих вблизи главного резонанса. Для этого мы можем вос пользоваться выражением (5.10), считая в нем а и Ь не постоянными величинами, а медленно изменяющимися функ циями времени: . 6t 6t j(t)=a(t)stn 2 +Ь(t)cos 2 . (6.1) Напомним, что термин «медленно изменяющиеся функ ции» мы уеловились понимать в том смысле, что приращение этих функций за период мало по сравнению с их средним значением в течение периода или иначе, что имеют место неравенства

1~ 1~7t~ 1• 1~;1~~ 1' l~/~7t~ 1 • l l h"J47t t Ь' 6~ 1 · J Подставим (6.1) в дифференциальное уравнение

(6.2)

f' + 2гf' +2 2 (1- 211-cosfJt)f+I\IU. f', f') =О, разложив предварительно нелинейную функцию в ряд Фурье 1\1* (/, f', f')= Ф(а, Ь) sin ~ + W(a, b)cos ~ + ... Члены, содержащие гармоники, отброшены. При вычислении коэффициентов использованы неравенства (6.2).