Динамическая устойчивость упругих систем

124

[гл. v

АМПЛИТУДЫ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ГЛАВНОМ РЕЗОНАНСЕ

уnругость+ нелинеПная инерционность). Так, в случае сосредоточенной на конце массы М L и связи жесткостью т.:4МL т.:4с с имеем х = 4 mzз , 1 = 4 mf3, следовательно, w}, = cfML. Формулу (5.27) можно истолковать как условие возникно вения резонанса в «nродольной» системе, хотя оно и отли чается от условия синхронизма множителем уЗ nеред соб ственной частотой. Если нелинеПная уnругость и нелинеПная инерцион ность комnенсируют друг друга, то частота fJ"" nопадает в

д

Фиг. 34.

область динамическоп неустоПчивости. Этот случай яв ляется наиболее неблагоnриятным с точки зрения амnли туд колебаний: nараметрический резонанс и резонанс в «nродольной» системе накладываются друг на друга (фиг. 35). Конечность амплитуд сохраняется здесь лишь за счет нелинеПного затухания (и, разумеется, неучтенных членов высших nорядков в выражении для нелинейной функции). Множитель уЗ в условии резонанса nоявляется из-за существенной нелинеПности «nродольной» системы. Дей ствительно, квазиуnругип коэффициент 3той системы весьма велик nри малых nеремещениях (бесконечно велик nри nере мещении, стремищемся к нулю, если стержень считать не сжимаемым) и nриближается к nостоянному значению с, когда прогибы увеличиваются. Это показано на фиг. 36, где по