Динамическая устойчивость упругих систем

122

АМПЛИТУДЫ КОJIЕБАНИЙ ПРИ ГЛАВНОМ РЕЗОНАНСЕ (ГЛ. V

частота в зависимости от знака р. Для доказательства рас смотрим уравнение (5.15) при ~ = t!.L = 0:

1 1 +:J.-n'1-A'1p

О

1

"

• =0.

О

1--!1-n~-A'-p

Сравнивая его с уравнением критических частот (2.12), видим, что оно удовлетворяется при п'~ + А"!.р = п;. Следовательно, А 2 = - (п 2 • - п?.) n "' 1 ( 6 ) Р .=w, откуда вытекает формула (5.24). В дальнейшем, если не оговорено противоположное, будем считать, что условие (5.21) выполняется, и будем пользо ваться простыми формулами (5.22), (5.23) и (5.24). 2. Переходим к вопросу о том, как влияет на установив шиеся амплитуды величина внешней нагрузки. Как видно из формулы (5.23), амплитуда колебаний рас тет пропорци)нально квадратному корню из коэффициента возбуждения г 2р. A=JI ТРТ' (5.25) т. е. пропорционально корню квадратному иэ амплитуды периодической силы. Нелинейнан зависимость между нагруз кой и амплитудой колебаний вообще характерна для задач, которые описываются нелинейными дифференциальными урав нениями. Впрочем, пропорционально коэффициенту возбу ждения растет амплитуда продольных перемещений точки приложении силы. Постоянная составляющая продольной силы Р 0 должна, на первый взгляд, увеличивать амплитуды колебаний. Дей ствительно, с ростом силы Р 0 растет коэффициент возбу ждения

Зависимость оказывается, однако, сложнее. Сила Р 0 бывает обычно гравитационного происхождения, т. е. так или иначе связана с силами веса, и поэтому ее увеличение вызывает, как правило, возрастание нелинейной инерционности системы.