Динамическая устойчивость упругих систем

116

АМПЛИТУДЫ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ГЛАВНОМ РЕЗОНАНСЕ (ГЛ. V

2. Для дальнейшего исследования запишем систему урав нений (5.11) в следующем виде: (1 +u-пll)a- n-1 Ь+А2(~а- n-1L b-xn'!a)=o \ 1 '1: 4!22 1t ' n~ Зт пj. ~ (5.13) (1 -u- n 2 )b+- а+ А 2 (- Ь + _..!:. а-У.n"ь) =О J 1 1t 4!22 1t . ' где обозначено: · о n=2!J' (5.14) Очевидно, что уравнения (5.13) будут удовлетворены, если попожить а = Ь =А= О. Это решение соответствует случаю, когда поперечные колебания стержня отсутствуют. Для отыскания иенулевых решений поступим следующим образом. Будем рассматривать уравнения (5.13) как систему однородных линейных уравнений относительно а и Ь. Эта система имеет отличные от нуля решения только в том слу чае, если равен нулю определитель, составленный из коэф

фициентов при неизвестных: 1 +tJ.-n 2 -A 2 (xn 11 - :Ja) !!..(A+ALA 2 ) 1t

1-u-n 2 -A2(xn'!_д) 1 4~2

=о. (5.15) Раскрывая определитель и решая полученное уравнение отно сительно амплитуды установившихся колебаний А, находим:

• r . ( n2 2) n2

n2

p(l-n2)-...2AAL+ у р.2 p~+;t2AL -;t2[p-1+AL(l-n2)]2

{

А=

2

'

n

2 р2+- AL 11;2

(5.16)

где для сокращения обозначено: "

3'( p=xn·-

(5.17)

4~2·

З. Формула (5.16) слишком громоздка для исследования. Поэтому выясним сначала, как изменяется характер резонанс ных кривых в зависимости от вида нелинейной функции.