Динамическая устойчивость упругих систем

§ 20)

115

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТАНОВИВШИХеЯ АМПЛИТУД

§ 20. Определение установившихся амплитуд 1) 1. В том случае, когда нас интересуют колебания, проис ходящие при главном резонансе 1J :=:::::: 22, мы можем прене бречь в разложении (5.2) влиянием гармоник, положив при ближенно '1): . 6t 6t f(t) =а sш 2 +Ь cos 2 . (5.10) Уравнения (5. 7) существенно упрощаются, остается система двух уравнениИ, содержащая коэффициенты а и Ь: [2·1 (1 +11)- ~ J а --в 1 JЬ+ Ф(а, Ь) =О, 1 [21(1-:J>-~Jь+вf:Ja+'l''(a, Ь)=О. (5.11) Определим величины Ф (а, Ь) и qr (а, Ь). Для этого под ставим выражение (5.1 О) в (5.3). Вычисления дают: у*(/, /', /') = ~з {3ja- вL fJb- х~ 9 а) sin О:+

А2 6t +т(3iЬ +вLfJa-xO b)cos 2 + •.. · 11

Члены, содержащие гармоники, не выписаны, через А обо значена амплитуда установившихся колебании

А 9 =а 11 +Ь'~. Итак, коэффициенты разложения функции ф* (/, f', f') в ряд Фурье будут:

А 3 1 Ф (а, Ь) = T(3ia- вL IJЬ-- х69а), • AZ Jt • \l (а, Ь) = т(3iЬ+ вL6а- х611Ь). f

(5.12)

1) Б о л о т и н В. В., Сборн. «Поперечные колебания и крити· ческие скорости~, вып. 1, Иэд. АН СССР, 1951. 3) Таково приближение метода медленно иэмеияющихся ампли туд (см. предыдущую главу).

в•