Динамическая устойчивость упругих систем

§ 17)

101

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБЛИ~~ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Легко убедиться, что дифференциальнQе уравнение за дачи действительно относится к классу уравнений с малой нелинейностью. Это вытекает прежде всего из самой сущ ности задачи. Как известно, линейная трактовка задачи о собственных колебаниях стержн~й дает результаты, кото рые хорошо согласуются с опытными данными. Дополни тельные нелинейные члены в уравнении ( 4.16) играют роль поправки, назначение которой-уточнить в общем удовле творительное линейное приближение. Чтобы получить количественную оценку, нужно преоб разовать уравнение ( 4.16) к безразмерному виду и применить критерий (4.2). Необходимые выкладки может проделать читатель. Ограничимся замечанием, что при прочих равных условиях влияние нелинеАных факторов зависит также и от амплитуды колебаний (оно растет пропорционально квадрату амплитуды). Это значит, что амплитуды колебаний должны быть достаточно малыми. Во всех практических задачах это условие следует считать выполнеi:WIIым. 2. Переходим к вычислениям. Полагая f =а sin ;;;t, под ставим это выражение в формулу (4.17). После преобра зований

- - sins wt = 4 (3 sin wt- sin Зwt), - - 1 - - sin wtcos'~ wt = 4 (sin wt+sin Зwt), 1 - - sin2 ~t cos ~t =-( cos wt- cos Зwt) 4 1 -

получим:

·~(/. f', /')=(~ 1-x; 9 )assin;t+ еL 4 ш ascoscJ+ ... (4.18) В соответствии с методом медленно иэменяющихся амплитуд проиэводные а' и а", а tакже члены, содержащие гармоники, отброшены. Итак, Ф(а, ;)=(~ 1-x;11)as,