Динамическая устойчивость упругих систем

100

КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

[гл. IV

и для определения установившихся амплитуд мы получаем систему алгебраических уравнениЯ: - (fJ'J- w9) Ь-2г 1 Jа -- 'l' (а, Ь) =О, } S+(6']-w'3)a-2гf:IЬ-Ф(a, Ь)=О. < 4 · 15 ) Систему (4.15) можно также получить и другим путем . .Можно, например, сразу подставить выражение (4.12) в урав нение (4.11) и потребовать для результата" подстановки (в соответствии с вариационным методом Галеркина) орто гональности «фундаментальным функциям» sin 6t и cos 6t: 2tt т J L (f, f', f') sin 6t dt =О, о 2tt т J L(f, f', f')cosfJtdt=O. о ТакоА путь приводит к окончательному резул~тату гораэдо проще. § 17. Собственные колебания нелинейной системы 1. Рассмотрим задачу о собственных колебаниях стержня с учетом введенных в предыдущей главе нелинейных фак торов. Уравнение этой задачи будет: f' + 2гf' + w 9 f+'f (/, f', f') =О, (4.16) г де ·~ (f, f', f')- нелинейная функция прогибов, скоростей и ускорений. Ограничившись величинами не выше третьего порядка малости, представим нелинейную функцию в виде y(f, f', f')=тP+2гLP!'+2xf[ff'+U'f·J. (4.17) Первое слагаемое учитывает влияние нелинейных факто ров статического происхождения, второе слагаемое-не линейный характер затухания, наконец, третье слагаемое учитывает влияние сил инерции, возникающих на продоль ных перемещениях. В дальнейшем будем говорить о нели нейной упругости, нелинейном затухании и нелинейной инерционности соответственно.