Архитектурная бионика

219

Гпава У 1 1. Тектоника архитектурных и природных форм

потенциальной энергии упругих шарнирно-стержневых систем может определять оптимальные по теоретичес ­ кой массе конструкции [ 29]. Эта идентичность харак ­ теризует энергетический смысл задачи оптимизации [30]. Однако это условие выполняется лишь при оди ­ наковых значениях модулей упругости и критических напряжений для элементов стержневых систем. Однако возможны случаи, когда конструкция с минималь ­ ным значением энергии далека от конструкций с мини ­ мальным значением теоретической массы. Чтобы сохранить энергетический смысл задачи опти ­ мизации в общем случае и получить необходимые па ­ раметры массы, резильянса упругих стержневых кон ­ струкций при заданных условиях жесткости достаточно использовать при постановке задач энергетические экстремальные принципы с фиксированием значений теоретической массы. Задача 1. При действии на упругую стержневую систему произвольной внешней нагрузки, согласно энергетическому экстремальному принципу в статической формулировке, из всех статически возможных состояний в ней устанавливается то, при котором потенциальная энергия деформаций принимает минимальное значение. Тогда для m раз статически неопредели ­ мой шернирно-стержневой системы с фиксированным значени ­ ем массы, в которой имеется п расчетных сечений, в соответст ­ вии с приведенным экстремальным принципом можно записать данную задачу: Найти min .ё потенциальная энергия деформаций (1) при услов'иИх ( у pytcd * — теоретическая мас ­ са (2), ЛХ £ -= — условия равновесия (ЗН/з^Р+Х^С — условия прочности и устойчивости (4)7<з < " , /7 — X/ — условия неотри ­ цательности (5). Здесь X — искомый п -мерный вектор усилий; F — искомый п -мерный вектор площадей сечения элементов; Р — заданный [п -tn] -мерный вектор внешних нагрузок;^ * }^" — заданные п -мерные векторы предельных напряжений в сечени ­ ях, соответственно на растяжение и сжатие; I — заданный л -мер ­ ный вектор длин элементов; d * — фиксированное значение тео ­ ретической массы стержневой системы; А — заданная (ti-m)ti - мерная матрица равновесия; & — объемный вес материала; i- =1,2,..., к — число загружений. Задача 2. В стержневой системе, подверженной внеш ­ ним воздействиям, согласно энергетическому экстремальному принципу в кинематической формулировке, из всех кинетима- тически возможных состояний устанавливается то состояний, при котором потенциальная энергия принимает минимальное значение. В соответствии с этой формулировкой, задача оптимизации шарнирно-стержневой системы при работе в упругой стадии может быть записана в следующем виде. Найти min К [ 4" ( — гия *=* с При условиях t "с са е Д1 .-Ап • ~ £ — условия совместности деформаций; fl- £ d М потенциальная эн ер- СБ) — теоретическая мес- (7) (В) (9) — условия жесткости; (11) ... Здесь C~EF /I — искомый п -мерный вектор жесткости элемен ­ тов; — искомый -мерный вектор продольных деформа ­ ций элементов; Я — искомый (лс-тт?)-мерный вектор перемеще ­ ний узлов стержневой системы; заданные (n-nz) -мер ­ ные векторы допустимых значении перемещений узлов стерж ­ невой системы. Математические модели (1 — 5) и (6 — 11) представляют со ­ бой задачи оптимизации стержневых систем при работе в упру ­ гой стадии. Для этих задач характерно то, что оптимальные значения теоретической массы определяются итеративно. Используется метод поиска глобального экстремума, предложенный в работе [22]. Для этого сначала фиксируется значение массы nf * явля ­ ющейся переменной величиной, и при заданных внешних на ­ грузках определяются соответствующие переметры шарнирно ­ стержневой системы, т.е. решаются задачи (2.1) — (2.11). Если решение существует, то £ * следует уменьшить, если не существу ­ ет — увеличить. Решив ряд таких задач, можно получить последо ­ вательность значений теоретической массы и упругой энергии деформации. В соответствии с допустимыми значениями переме ­ щений по возможности выбираются минимальное значение мас ­ сы и максимальное значение упругой энергии, т.е. принимается компромиссное решение. ® > £ Ъ Q — условия неотрицательности. f и (10) лг- ~Д1\ условия прочности устойчивости;

Бионические принципы оптимизации. В основе строе ­ ния живых конструкций, как и искусственных, лежит оптимизация различного характера. В одних случаях осуществляется оптимизация универсальных конструк ­ ций, т.е. таких, которые удовлетворяли бы всевозмож ­ ным силовым воздействиям. В других случаях при построении оптимальных структур предпочтение отда ­ ется одному из преобладающих силовых воздействий. Встречаются и такие случаи, когда каждое силовое воздействие воспринимается соответствующей структу ­ рой конструкции, например ферма Митчелла в головке бедренной кости человека (рис. 57, 58). Однако в ос ­ нове этой оптимизации лежит минимизация массы, так как она непосредственно определяет энергети ­ ческие затраты, связанные с постоянным ее обновле ­ нием.

Рис. 58. Ремная конструкция, набираемая из ферм Митче ­ ла (инж. В.Г. Темнов) Траекториальная структура (ферма Митчелла, образованная на основе ма ­ териализации силовых линий в бедренной кости человека) Рис. 57.

Принцип траекториального строения решеток кон ­ струкций. Численные методы оптимизации конструк ­ ций охватывает множество допустимых решений, в силу чего возникают трудности с реализацией задач, особен ­ но для конструкций со сложной структурой и конфигу ­ рацией. В то же время структуры живых организмов образно представляют собой материализацию силовых линий, а потому, используя эту закономерность, можно значительно сузить область поиска вариантов (рис. 59-62). Этот принцип хорошо раскрыт итальянским инженером П.Л. Нерви в 1940 — 1950-х гг. и другими уче ­ ными [5, 12, 24, 25]. Придание структурам упорядочен ­ ности (ориентация элементов вдоль силовых линий) по ­ вышает прочностные и жесткостные свойства при мини ­