Золотое сечение

порядок, практически разница неуло­ вима:

Nautilus приводит к интересному обоб­ щению, скорее всего к новой ветви ис­ следования. 1. Число л, как хорошо известно, можно заменить числом Ф, пользуясь дихотомией (числом 2), применив ее дважды. л = 22:Ф ,/2 3,1416 3,1446 с практически приемлемым приближе­ нием 0,003. 2. В музыкальной темперации золо­ тое число Ф и д/2 (удобнее 2 1/2) при­ надлежит единой структуре. Это обус­ ловлено (дважды) дихотомией. Созву­ чие, при котором две струны звучат как единое целое, характеризуется удвоением частоты колебаний струны, которое осуществляется делением стру­ ны пополам. Такова природа звука — принцип октавы. Малая секунда — структурная единица темперации — вы­ ражается точно числом 2 1/12 и, с при­ ближением, числом Ф (см. ч. 2, с. 196). Приближение здесь на один порядок выше, чем в примере 1. Разность частот менее 1 Гц (0,004) слух не улавливает. 3. В пространстве симметрии подо­ бий присутствуют две дихотомии. Вдоль лучей N действует ритм Ф. Он сопро­ вождается ритмом Ф1/2, действующим в направлениях и а. Если же заин­ тересоваться связями структуры в на­ правлениях диагональных (под углом -^ ) , в структуре обнаруживается ритм 2 1/2. Математически связь ритмов Ф, ф 1/2 и 2 1/2 абсолютно точна, но рас­ щепление числа Ф все же обнаружи­ вается. Угол а в радианах можно опре­ делить числом Ф, как и всегда, через число 2. Точность возросла еще на один малая сек. 2 -1/'2 = 22-фЗ 0,94388 0,94427 —0,0004.

а ^ ( Ф + 2 ) : 2 2,

+ 0 ,00005

0,904557 0,904508

4. И-спираль Nautilus. Радиально направленный захват пространства точ­ кой начала (/?), описывает уравнение 2 /лФ 1 2 а------- /? = ф 1/2.£ л , в котором объедине­ ны математически точно фундаменталь­ ные константы природы: иррациональ­ ное число Ф, рациональное число 2 и трансцендентные числа е, л. И вот, чтобы получить полное ото­ бражение свойств пространства сим­ метрии подобий на линию Л \П \ , введем л в чертеж поворотную симметрию -g-, дополним деление горизонтали точкой е * (рис. 42). Горизонталь Л \П \ отождествлена с натянутой струной, и точки, ее разде­ ляющие, определяют возможность, дис­ кретно изменяя длину этой струны, «слышать» такие созвучия: октаву, три­ тон, полутон (наименьший интервал темперированного звукоряда), а также созвучия натурального ряда — кварту и квинту. В отношениях длин «стру­ ны» — парные меры: Египта — 1: д/5; 2: д/5; 1:д/2; античного Рима (д/5— 1):2; (д/5— 1):д5; 1:2; новгородская мерная трость (д/5— 1):1 и 1:д2 (см. рис. 41, 42). (Заметим, все перечисленные от­ ношения лежат и на «струне» двойного квадрата — каноне египетских пирамид ( ЬД , рис. 42, справа) . И смысл транс- * Поворотная симметрия делит полудиаго- наль 0 \П в точке е в отношении золотого сече­ ния (рис. 42, середина) так же, как делит ее а _ в точке n 1 трансляция — . Различие в том, что в первом случае восхождение (движение от большего размера к меньшему) направлено от центра к периферии, а во втором — от перифе­ рии к центру. Пп \ \ п \ 0 \ = 0 \ г : г П = Ф.