Зодчий 1885 год

- 85 -

но тольк о при положені н плоскост п заданно й окружност и парал - лельном ъ картинно й плоскости . Остаетс я эту же хорд у выразит ь перспективо ю при первоначальном ъ положені и плоскост и заданно й окружности . Дл я этог о через ъ точк и М и N проведем ъ ливі и Mi и Nj параллельны я лині и EF и оаредѣлим ъ точк и і и j их ъ пересѣченій съ линіе ю аЬ, которы я и соединим ъ съ точкою о пря ­ мыми оі и oj . Лині и ог и oj , пересѣкаяс ь сълиніеюиш , проведенно ю через ъ точкупараллельн о лині и аЬ, опредѣлят ъ отрѣзок ъ тп, кото ­ рый и будет ъ отыскиваемы й сопряженны й діаметр ъ діаметр у ef элинс а aghe; а имѣя данным и по положені ю и по величин ѣ два сонряженны я діаметр а элинса , можн о определит ь ряд ъ точек ъ ему принадлежащихъ . Для опредѣлепі я же ряда точекъ , принадлежа - щих ъ элипсу , когд а даны два его сопряженны е діаметр а аЬ и es (черт . 4) , надо , как ъ извѣстно , на отрѣзкѣ ab, принима я его за діаметръ , описат ь окружность , через ъ центр ъ С провест и діаметр ъ gg' перпендикулярны й къ этому діаметру , а точки f u g соединит ь отрѣзкомъ fg. Н а діаметр ѣ ab взят ь какую-нибуд ь точк у ,j че ­ рез ъ нее провест и лині ю jn параллельну ю eg и jl параллельну ю cf\ опредѣлит ь точк у к иересѣчені я лині и JK съ описанно ю окружност и и через ъ точк у к провест и линію кі параллельну ю fg, котора я пересѣкаяс ь въ точкѣ / съ линіе ю jl, опредѣлит ъ точку , принадлежащу ю требуемом у элипсу . Если точк и / и g' соединим ъ отрѣзком ъ fg', а точки I и к' отрѣзком ъ Ік', то эти отрѣзк и будут ъ параллельн ы межд у собою. Изъ подобных ъ треугольников ъ cfg и jln получаемъ . cf--cg = jl : JK. На cg=^cg' и J K — J K ' , слѣдовательно : cf:cg' =jl -.JK. Кроиѣ того угол ъ /eg равен ъ угл у I JK\ слЬдовательн о тре - угольнпк ъ /eg' подобен ъ треугольник у Цк, а потом у сторон а /g' параллельн а сторон ѣ Ік. На этом ъ основані и можн о опредѣлит ь точку , принадлежащу ю элипсу , слѣдующим ъ построеніемъ . Описав ъ на діаметр ѣ ah окружност ь agbg' и провед я діамѳтръ gg' къ нему перпендикулярны й как ъ и въ иредыдущем ъ рѣшеніи, надо точк у f соединит ь съ точкою g' линіе ю fg\ Потом ъ на ли - піп аЪ взят ь произвольн о точк у j и через ъ нее провест и лині ю jl параллельну ю cf и лпні ю J K ' параллельну ю лпні ю gg'; через ъ точк у к пересѣчені я лині ю jic' съ описанно ю окружность ю про ­ вести лині ю к'1 параллельну ю лині ю fg' и опредѣлит ь точку I ея пересѣчепія съ линіе ю jl, котора я и будет ъ принадлежат ь ска ­ занном у элпису . Когда у элипс а опредѣлен ы по положені ю и по величин ѣ два его сопряженны е діаметра , то можн о опредѣлит ь по положені ю п по величин ѣ его оси , основываяс ь на слѣдующемъ. Во-первыхъ , касательна я лині п Iq, проведенна я къ элипс у въ точкѣ I и каса ­ тельна я проведенна я въ соотвѣтствующе й точкѣ к илп к' окруж ­ ности пересѣкаютс я межд у собою въ точкѣ q лежаще й на лині и тп даннаг о сопряженнаг о діаметр а ah. Во-вторыхъ , есл п будет ъ описан а одноцентренна я съ данным ъ элипсом ъ окружность , пере - сѣкающая его въ четырех ъ точкахъ , то общі я къ этим ъ двум ъ кривым ъ линіям ъ четыр е касательны я иересѣкаютс я между собою попарн о на линіях ъ осе й этог о элипса , при чемъ эти лині и углы каждо й пары касательных ъ дѣлят ъ пополамъ , как ъ напр . лпні я vw дѣлитъ пополам ъ угол ъ Jivr двух ъ общих ъ касательных ъ Ы и rs. Положимъ , что намъ даны два сопряженны е діаметр а ah и ef элипса , въ котором ъ желаем ъ опредѣлит ь направлені е его осей . На отрѣзкѣ ab, как ъ діаметрѣ, описываем ъ окружност ь aghg'a, въ ней проводим ъ діаметр ъ gg' перпендикулярны й къ діаметр у

ному элипс у и описанно й окружности . Выш е было замѣчено, что уголъ hvr, образуемы й парою общих ъ касательных ъ лині й ht и и rs къ элипс у и къ сказанно й окружности , линіею оси элипс а ДЕ­ ЛИТЯС пополамъ , то , опредѣлив ъ точк у ѵ пересѣчені я касательных ъ и и rs, проведем ъ через ъ не е и точк у с пряму ю ѵгѵ, котора я и будет ъ линіе ю одной изъ осе й даннаг о элипса ; а провед я че ­ рез ъ точк у с липію къ ней перпендикулярную , получим ъ поло - жені е лині и друго й его оси . Для сокращені я же построені й можн о поступит ь слѣдующим ъ образомъ : угол ъ gig' равен ъ угл у hvr, слѣдовательн о раздѣлив ъ первый угол ъ пополамъ , опредѣлим ъ направлені е одной изъ осей даннаг о элипса , а провед я через ъ точк у с линію ѵгѵ ей параллель ­ ную, опредѣлим ъ и положені е одной изъ осей даннаг о элипса , по ­ ложени е же друго й его оси опредѣлится , как ъ было сказан о выше . Для опредѣлені я величин ы большо й оси заданнаг о элинса , сдѣлаемъ слѣдующее построеніе : положимъ , даны два сопряжен ­ ные діаметр а ah и ef элипс а (черт . 5) ; на отрѣзкѣ аЬ, как ъ на

діаметрѣ, описываем ъ окружност ь и проводим ъ ея діаметр ъ gg', перпендикулярны й къ діаметр у ah; точк у f соединяем ъ съ точ ­ ками g "аg' прямым и fg и fg'; угол ъ gfg' дѣлпм ъ линіею fh по ­ поламъ , a через ъ точк у с проволим ъ линію vw ей параллельную , которая , как ъ видѣли выше , и опредѣляет ъ положені е большо й оси заданнаг о элинса . Послѣ чего на лині и тп, проходяще й че ­ рез ъ данны й сопряженны й ah, возьмем ъ произвольн о точк у т и через ъ нее проведем ъ лині п тѵ и тп соотвѣтственн о параллель ­ ныя линіям ъ cf и eg. Через ъ точк у ѵ пересѣчені я лині й тѵ и viv, проведем ъ лпні ю ѵп параллельну ю лині и fg и опредѣлим ъ точку п ея пересѣчені я съ линіе ю тп Через ъ точки и и с прове ­ демъ пряму ю піс' и опредѣлим ъ точку Ь ея пересѣчені я съ опи ­ санною окружность ю aghg'a, а через ъ точк у 1с проведем ъ лпні ю

Ы параллельну ю лині и fg и опре - дѣлпмъ точку I ея пересѣченія съ ли - ніею vw, которая , очевидно , принад ­ лежит ъ заданном у элипсу . Так ъ как ъ точка I принадле ­ жит ъ элипс у и въ то лее врем я ле ­ жит ъ на лині и ѵгѵ, то,слѣдовательно , эта точк а будет ъ вершин а этог о элипса , а отрѣ- зок ъ сі будет ъ его больша я полу-ось . Отложив ъ по ли -

\

/

IK Чер. 6. ніп vw отъ точк и с отрѣзок ъ сѴ равны й отрѣзк у cl, получим ъ большую ось W заданнаг о элипса . А есл и у элипс а даны : больша я ось И' и точк а f ему при ­ надлежаща я (черт . 6) , то , провед я через ъ центр ъ с заданнаг о элипс а лпні ю hh' перпендикулярну ю къ лині и W, изъ точк и f.