Пропорциональность в архитектуре

§ 20. Пропорциональность объемов

59

Продолжая подобные же построения, получаем спираль из прямых АВ, ВС, CD, DE, EF и т. д., согласно вышеизложенному, членов геометриче ­ ской прогрессии. 1) Ввиду того, что нами исходным отношением АВ и ВС принято отношение по золотому сече ­ нию, получается спираль из членов геометриче ­ ской прогрессии золотого сечения, а именно: А В : ВС : CD : DE : EF = Л1° : Af 1 : Af 2 : М 3 ..., 2) Вторую прогрессию золотого сечения дают отношения: AO:BO:CO:DO: ЕО и т. д. = АІ» : Л7' : Al 2 : Ah ..., 3) Площадь двс= *2» = « что дает отношение площадей треугольников ABC: CBD : CDE — 7И 1 : Af 3 : /И 5 , т. е. прогрессию с знаменателем м 2 . 4) Отношения отрезков CB:DE:QF:HI состав ­ ляют также прогрессию с знаменателем Af 2, равно как и отношения АВ: DC: EF : HQ. 5) Трапеции ABEF, CBFG, CDHG и т. д. со ­ ставляют также геометрическую прогрессию с зна ­ менателем М 2 . Что касается построения кривых отрезков спи ­ рали, к которым прямые являются касательными, то они получены из центров, расположенных на диагоналях АС и BD, путем деления соответству ­ ющих прямых углов спирали биссектрисами, дове ­ денными до пересечения с диагоналями (рис. 4, стр. 48) Спираль золотого сечения № 2. На той же та ­ блице VIII, фигура 2, изображена спиральная кри ­ вая, приближающаяся к волютам ионического ор ­ дера, вчерченная тем же путем в спираль из пря ­ мых линий, представляющих убывающую прогрес ­ сию с знаменателем ]/АР и представляющая исключительную пропорциональную согласован ­ ность ее сторон, диагоналей, площадей треуголь ­ ников и трапеций, а именно: а) AB ‘ .BC:CD:DE: EF:FG и т. д. составляют геометрическую прогрессию с основанием АВ~М° и знаменателем 1/Af (АВ = М° = 1) и СВ = у'М= = 0,786... б) АВ: CD:EF:HQ, а также CB:DE:QF:KI — геометрические прогрессии с знаменателем М. AB:EF:IK и соответствующие им стороны, расположенные против сторон спирали СВ, CD, DE — составляют геометрические прогрессии с знаменателем Л4 2 . в) Диагональ DB как гипотенуза треугольника DCB с катетами равными ]/ М и М равна Л4° = АВ. Диагональ АС — гипотенуза треугольника СВА = = ]/Л1 — 1 откуда DB:OB:BF:OF:KF и т. д. дают геометрическую прогрессию золотого сечения с знаменателем М и основанием М°. г) АС: АО : АЕ: ЕО и т. д. представляют также прогрессию золотого сечения с знаменателем Af 1 . д) Треугольники, образуемые диагоналями АС и BD и прямыми, образующими основную спи ­ СВО=^=^ со£ = «_»,

раль из прямых линий, а именно треугольник АВО : ВСО : CDO : EFO ... и т. д. составляют убывающую геометрическую прогрессию золотого сечения с знаменателем М. е) Такую же прогрессию образуют и соответ ­ ствующие трапеции. Исключительная согласованность таким образом данной спирали заключается в том, что как сто ­ роны ее, так и диагонали, площади треугольни ­ ков и трапеций, образующих ее, являются членами одной геометрической прогрессии с общим осно ­ ванием М й . Разобравши условия пропорциональности, чаще всего встречающихся в архитектуре, площадей — прямоугольников, треугольников и кругов, при ­ соединив к ним построение пропорциональных схем спиралей, перейдем к такому же разбору объемов. § 20. Пропорциональность объемов Теоретически наиболее совершенное сочетание объемов устанавливается на основании тех же соображений, которые были изложены при раз ­ боре линейных и плоскостных отношений. Так, для параллелепипеда из формулы: a-b-c:x-y-z = x- y- z:(a-b-c — х • у • z) получаем х ■ у • z = М ■ а ■ b • с = ■ а • b ■ с. Приняв в этой формуле любые размеры для двух измерений, получаем третьи, искомые. Однако и здесь, как и при установлении пропорционально ­ сти плоскостей, необходимо, чтобы не только объемы были пропорциональны, но чтобы и пло ­ скости, образующие объемы и линейные отноше ­ ния сторон, были бы между собой пропорцио ­ нально согласованы по схеме золотого сечения. Ввиду этого пропорциональное деление куба должно итти таким же постепенным его делением на майор и минор, как деление прямой, как де ­ ление плоскости. Пропорциональное деление куба. На таблице IX, фигура 1, показан пример пропорционального де ­ ления куба на майор и минор путем разреза его вертикальной плоскостью. а) Основной куб, площадью сторон а 2 , сторо ­ ной — а и объемом а 3 , б) Сторона основания АВ разделена по золотому сечению на майор и минор на аМ и аМ 2 в точке С. в) Площадь основания разделена на две про ­ порциональные площади, прямой перпендикуляр ­ ной АВ, проведенной из точки С на площади а 2 М и а 2 М 2 . г) Лицевая сторона куба перпендикуляром, вос ­ становленным из точки С к АВ также делится на две пропорциональные площади а 2 М 1 и а 2 АР и тогда д) плоскость, проведенная через оба перпенди ­ куляра, дающих пропорциональное деление осно ­ вания и стороны куба, делит этот последний на два параллелепипеда аМ • аМ° • аМ° — а 3 М и аМ ’ • аМ° • аМ° = а 3 М 2 . Дальнейшее деление куба тем же путем гори ­