Пропорциональность в архитектуре

Пропорциональная схема золотого сечения

56

Таблица VII, фигура 7

= 0,00075 X 0,618 = 0,00046 и далее j М 2 = 0,29999 = = (0,786153 — 0,00075) X 0,382, причем разница ме ­ жду величинами Л4 2 и л 2 і/Л4 составляет 0,00075 X 0,382 = 0,000286. Таким образом фактическая разница между площадью вписанного круга и соответственной площадью квадрата уменьшается с каждым чле ­ ном убывающей прогрессии, обращаясь в 0 при бесконечно малом члене его, что и дает возмож ­ ность легкой пропорциональной согласованности площадей кругов и квадратов. На таблице VII, фигура 7 показан ряд пропор ­ циональных кругов, вписанных в квадрат, со сто ­ ронами М° = 1 и площадью Л4°, = 1, причем а) диаметр вписанного круга = Л4°, площадь У М, диаметр его майор = j /ТИ 1 , площадь МУМ, диа ­ метр М предыдущ. = |/Л4 2 = jA /И УМ — М, пло ­ щадь М 2 |А7И, диаметр М предыдущ. = 1/Л4 3 = М ]/ М, площадь М 3 У М. б) На этом же чертеже построен квадрат, от ­ вечающий площади вписанного в основной квад- рат круга — квадрата площадью равного JA14 1 со сторонами \/М, т. е. квадрата площадью, как вы ­ ведено выше = 0,785398, приняв вместо этого раз ­ мера приближенную к нему величину У М = = 0,786153. При этой предпосылке построен по указанному выше способу 1) ЛІ^О.бІвТИ 0 , 2) У М= =0,786153 и наконец = Ум = 0,786153 = 0,886652, отвечающий стороне искомого квадрата пло ­ щадью — (0,886222). При этом получен ряд вписанных в квадраты кругов, пропорциональных по золотому сечению между собой и пропорциональных соответствую ­ щим им квадратам: а) квадрат основной — целое, площадью Л4° со сторонами Л4°, вписанный в него круг площадью jA /И 1 с диаметром Л4°; б) квадрат майор основного площадью Л4 1 со сторонами УМ 1 , вписанный в него круг, майор вписанного круга площадью УМ 0 с диаметром ]/ЛУ; в) квадрат минор основного площадью Л4 2 со сторонами 7И 1 , вписанный в него круг минор первого круга площадью У М 2 с диаметром У М 2 , и т. д. Для наглядности приведем таблицу пропорцио ­ нального согласования площадей и сторон ква ­ дратов и вписанных в них кругов (таблица VII, фигура 7). По этой таблице квадраты № 1, 3, 5 и т. д. составляют геометрическую прогрессию золотого сечения М°, М 1 , М 2 и т. д. с основанием 714° и зна ­ менателем М. Квадраты № 2, 4, 6 и т. д. составляют геоме ­ трическую прогрессию золотого сечения УМ, jA /И 3 , jA /И® и т. д. с основанием У М и знамена ­ телем М. Стороны квадратов № 1, 3, 5 и т. д. составляют геометрическую прогрессию с основанием М° и ум.

Квадраты Вписан, круги площ. стор. площ диам.

М°

Я? 1 Ліо № 2 ум Ум Ум МО

круг, вписан, в кв. № 1

м Ум м ум

№ 3

, . № 2

.

№ 4 у'М 3 4 |/ЛР ум 3 ум № 5 М 2 ум 2 М 2 ум~ з № 6 ул^ умі ум* ум 2

№ 3

.

» » № 4 . . » 5

.

. .

Стороны квадратов № 2, 4, 6, и т. д. состав ­ ляют прогрессию с основанием Ум и знаменате ­ лем Ум. Вписанные круги 2, 4, 6 и т. д. составляют про ­ грессию золотого сечения с основанием J/7I4 и знаменателем М. Вписанные круги № 3, 5, 7 и т. д. составляют геометрическую прогрессию золотого сечения с основанием М и знаменателем М. Диаметры первых № 2, 4, 6 и т. д. составляют прогрессию с основанием М° и знаменателем У М- Диаметры вторых кругов № 3, 5, 7 и т. д. со ­ ставляют геометрическую прогрессию с основа ­ нием Ум и знаменателем УМ. § 19. Построение спирали золотого сечения На таблице VIII, фигура 1, изображена спираль ­ ная кривая, вчерченная в спираль из прямых ли ­ ний, представляющих собой убывающую геоме ­ трическую прогрессию золотого сечения с осно ­ ванием М° и знаменателем М. Спираль из прямых линий начерчена, руковод ­ ствуясь известным в геометрии построением гео ­ метрической прогрессии, основанным на следую ­ щем положении: если перпендикулярные друг к другу наклонные, в данном случае АС и BD составляют постоянные, отличные от 45°, углы к прямым, изображающим спираль, в то время 1 как внутренние углы этих последних равны 90°,. то: 1) последовательные стороны отрезка спирали образуют геометрическую прогрессию: АВ, ВС, CD, DE и т . д .; 2) расстояния последовательных вершин А, В, С, D от точки пересечения диаго ­ налей АС и BD образуют также геометрическую прогрессию: АО, ОВ, ОС, OD и т. д. Построение спирали из прямых исполнено сле ­ дующим образом: Построен прямоугольный треугольник АВС с высотой АВ = М° и основанием СВ = М. На его гипотенузу АС из вершины В опущен перпендикуляр и продолжен до I CD, восста ­ новленного из вершины треугольника С к осно ­ ванию его СВ. Из точки D восстановлен _]_ DE к прямой CD до пересечения с диагональю АС.