Пропорциональность в архитектуре

Пропорциональная схема золотого сечения

50

и при 2) основании треугольника, равном Ж 1 для пло ­ щади майор исходного: высота его будет ................................. Ж 1 , Л1 2 а площадь треугольника Ж 1 исходной, ---- б) Желая получить треугольник площадью рав ­ ной Ж 2 исходного, получаем уравнение: ху = M 2 ah. Приняв а — М 1 ; /і = М° и х = Ж х , получаем у — высоту треугольника = ЛРу = Ж 3 - М 1 и у — М 2 и т. д. 2. Для построения непрерывного ряда пропор ­ циональных по схеме золотого сечения и вместе с тем подобных между собой площадей треуголь ­ ников кроме основного уравнения ху = М і а/і имеем еще дополнительное выражение а:х = = h:y, откуда xh — ay и х = -^- (таблица VII, фи ­ гура 2). Приняв а = Ж х ; А = Ж°, получаем из основного уравнения xy — M v ah — выражение • ѵ=Ж ’ -Ж 1 -Ж 0 , откуда Ж х у 2 = Ж 2 и у=у/МУ. В таком случае мы имеем во вновь полученном треугольнике подобном исходному: 1) высоту ............... у=']/М 1 2) основание . . . х = 3) площадь майор _ __ ИСХОДНОЙ . . . . = * ---- . 3. В случае, если в основном, в исходном тре ­ угольнике, пропорционально между собой согла ­ сованы не высота и основание, а все три сто ­ роны, например а основание = Ж 4 , а стороны b и с между собой равны и составляют каждая Ж 3 и желая определить треугольник подобный основ ­ ному площадью Ж 1 со сторонами пропорциональ ­ ными по золотому сечению сторонам а, b и с, решаем задачу следующим образом (таблица VII, фигура 3). 1) Площадь исходного треугольника со сторо ­ нами а = Ж 4 , Ь = с = М 3 определяется из фор ­ мулы площади треугольника в ней h высота а прямоугольного треугольника с основанием -у и /~ а? гипотенузой Ь=у Ь 2 ---- . Подставляя затем выражения для а и Ь, получаем: h = y = -^]/4Ж в — Ж 8 и площадь исходного треугольника: ^ = ^- 4 .1|/4Ж 6 — Ж8 = 4-ЛВ і /4/И6 — Ж 8 . Z Z z 4 2) Приняв затем в искомом треугольнике, пло ­ щадь которого должна равняться майор площади исходного, основание равным ]/Ж основания ис ­ ходного, — Ж 4 j /Ж, а стороны равными )/ж ис ­ ходных, = Ж 3 • ]/Ж, получаем площадь искомого

треугольника уЖ 5 |/4Ж 6 — Ж 8, т. е. майор площади основного треугольника — ^-Ж 4 ]/ 4Ж 6 — Ж\ Вообще же стороны и высоты пропорциональ ­ ных по золотому сечению треугольников согласо ­ вываются по тому же принципу, который был выяснен выше при подробном разборе пропорцио ­ нальных прямоугольников и квадратов, так: 1) в равнобедренных, пропорциональных между собой, треугольниках, с равными основаниями, высоты их должны быть членами геометричес ­ кой прогрессии золотого сечения с знаменате ­ лем Ж. 2) Если в исходном равнобедренном треуголь ­ нике пропорционально согласованы не высота с основанием, а три стороны между собой, то и в пропорциональных к нему треугольниках сто ­ роны должны быть членами геометрической про ­ грессии золотого сечения с знаменателем Ж. 3) В непрерывно.м ряде подобных между собой треугольников, площади которых составляют ряд членов геометрической прогрессии золотого се ­ чения с знаменателем Ж: а) при пропорциональном основании и высоте исходного треугольника — основания и высоты составляют ряды геометрической прогрессии с знаменателем 1/Ж; б) при пропорциональных сторонах исходного треугольника стороны их составляют соответ ­ ственно ряды геометрической прогрессии с зна ­ менателем J/ М. 4. На фигуре 4, таблицы VII представлен ряд треугольников при условии деления общего их основания, осью симметрии, каковой в данном случае является высота равнобедренных треуголь ­ ников, на два равных между собой отрезка, при ­ чем высоты их пропорционально уравновешены с основанием. При этом условии получаются два симметрич ­ ных треугольника и в каждом из них основание ^0 Ж*-Ж 0 Ж 1 , равно Ж 1 , высота Ж 0 , площадь — ? — ~~2~ и °° а треугольника вместе Ж 1 . Майор каждого из этих симметричных треуголь ­ ников при основании равном Ж 1 имеет высоту Ж 1 , Ж 1 • Ж 1 Ж 3 а площадь ---- ----- = ~2~ п Р ичем площадь для обоих вместе = Ж 2 . Минор их при основании каждого = Ж 1 имеет Ж 1 -Ж 3 Ж 3 , высоту Ж 2 и площади — — = - 2 -> а для °^ оих вместе= Ж 3 . 5. Если принять такое же симметричное деле ­ ние треугольников, при полуосновании как выше, равном Ж и при стороне — гипотенузе равной Ж* получаем: 1 основание каждого треугольника Ж 1 (фигура 5, таблица VII) сторону гипоте нузы — Ж ° __ высоту их — Ж° — Ж 2 = |/Ж 1 _ Ж 1 -1/ж 1 j площадь каждого из них ------------- , а обоих вместе — Ж 1 )/Ж 1 . Для майор этого треугольника имеем, сохра-