Пропорциональность в архитектуре

40

Пропорциональная схема золотого сечения

которых большая во столько раз менее основ ­ ной площади, во сколько меньшая менее большей. Математическое решение этой задачи находится в зависимости от самой конфигурации площади, которая в архитектурном памятнике чаще всего представляет собой прямоугольник. Пропорциональное согласование прямоугольника и квадрата. Для прямоугольников задача решается следующим образом. Задавшись сторонами основ ­ ного прямоугольника а и Ь, определяем стороны искомого прямоугольника х и у из формулы: ab : ху — ху : (ab — ху), откуда получаем: ху = 0,618а& = МУаЬ. Приняв в означенной формуле любой размер для одной из сторон искомого прямоугольника, легко вычислить по ней размер другой; однако для полной согласованности по золотому сечению не ­ обходимо, чтобы, кроме пропорциональности пло ­ щадей между собою, и стороны их также были между собою пропорциональны, т. е. чтобы как а и b так и х и у были членами одной геометри ­ ческой прогрессии золотого сечения с общим знаменателем М 1 — 0,618. а) Так, при делении по золотому сечению основ ­ ного квадрата, площадью а 2 Л?°, со сторонами рав ­ ными а, на майор и минор, на два пропорцио ­ нальных прямоугольника, принимаем в формуле ab : ху = ху (ab — ху) одну из сторон искомых прямоугольников равной стороне основного квадрата х = а; в таком случае получаем уравнение (таблица IV, фигура 1): а 2 : ау — ау : (а 2 — ау)-, ay = М 1 а 2 ; у = Л1 ‘ а, при х — а. Следовательно, площадь, равная майор площади основного квадрата, будет равна : ау = TH • а • а = Ма 2 , а площадь минор основного квадрата: а 2 — ау = а 2 — а 2 М 4 — а 2 М 2 . Таким образом деление исходного квадрата пло ­ щадью а 2 на майор и минор дает: 1) прямоугольник, равный майор основного, площадью а 2 М\ со сторонами а и аМ 1 и 2) прямоугольник, равный минор основной пло ­ щади а 2 /И 2, со сторонами а и аМ 2 . б) Продолжая деление основного квадрата по схеме золотого сечения путем постепенного даль ­ нейшего деления его на пропорциональные части высших порядков, получаем (таблица IV, фигура 2): 1) деление площади прямоугольника а 2 /И 4 в свою очередь на майор и минор дает принимая основание искомого прямоугольника рав ­ ным а/И 1 высота его у для площади майор аМ 1 получится из уравнения: «2М2 ... ѵ = — = аМ 1 , ■г аМ. ’ для майор М 4 а 2 М 4 а — а 2 М 2 , для минор М 2 а 2 М 4 == а 2 М 3 ;

и высота z для минор из уравнения:

2) деление площади прямоугольника с?М 2 в свою очередь на майор и минор дает:

для майор М 1 -а 2 М 2 = аШ 3 ; для минор М 2 -а 2 М 2 — ЛМ 4 ;

принимая основание искомых прямоугольников а/И 2 , получаем высоты у и z для площади майор а 2 М 3 из уравнения У — откуда у — аТИ 1 , а для пло- щади минор г = -^р=аМ 2 . в) Поступая тем же приемом при постепенном делении по вертикали прямоугольника площадью Л4 1, с основанием /И 1 и высотой М°, на пропор ­ циональные части, получаем последовательное де ­ ление основания на: 1) М 1 = М 2 -j- /И 3 , причем соответствующие пло ­ щади прямоугольника будут: М 2 -М° = М 2 и М 3 -М° = М 3 -, 2) дальнейшее деление майор основания М 1 на /И 3 -[-7И 4 дает соответствующие площади для прямоугольника с основанием 7И 3 — М 3 -М°==М 3 Г для прямоугольника с основанием М 4 : М 4 -М° = М 4 -, 3) продолжение деления основания Л4 3 на М 4 и /И 5 и М 1 на М 3 -\-М в дает при вертикальном делении, при высотах равных М° площади прямо ­ угольников соответственно М 4, М 3 и М в (табли ­ ца IV, фигура 3). г) Для постепенного горизонтального деления такого же прямоугольника с основанием 7И 1 и вы ­ сотой М° на пропорциональные части, получаем;: 1) высоту 7И° = 7И 1 + 7И 2 ; причем соответствую ­ щие им площади прямоугольников будут 7И 1 -Л4 1 == = 7И 2 и М 4 -М 2 — М 3 (таблица IV, фигура 4); 2) деление высоты М 2 на Л1 3 -|-7И 4 , а М 4 на М 3 -\-М 3 при том же оснорании М 1 дает площади прямоугольников : М 4 -М 3 ; ЛР-М 4 и М 4 -М 3 , т. е. площади: /И 4 , /И 5 и /И®. д) На таблице IV, фигура 5, показан пример про ­ порционального деления прямоугольника с осно ­ ванием 7И 1 и высотой 7И° постепенным делением как его основания, так и его высоты, т. е. деле ­ нием его в вертикальном и горизонтальном на ­ правлении, причем площадь исходного прямоуголь ­ ника с основанием Л4 1 и высотой Л4° равна М'-М^М 1 . Площадь прямоугольника с основанием /И 1 и высотой Л4 4 = м і+4 = Л4 8 . Площадь прямоугольника с основанием 7И 4 и высотой ТИ 5 = ТИ 4 + 5 = Л1 9 и т . д . На основании вышеизложенного выясняется ши ­ рокая возможность разных пропорциональных ком ­ бинаций, которые могут быть достигнуты при де ­ лении площадей прямоугольников по золотому сечению. Почти неограниченная возможность раз-