Пропорциональность в архитектуре

§ 9. Золотое сечение — производное „высших порядков

31

получаем : с=а

Следовательно :

2 ~ 1 )*( ~^ 2~ 1 ) или а 'М-М. Далее, обозначив майор с буквой d, из уравнения с : d = d : (с — б/), получаем л — z7 /5-1 \ d — с V 2 / или т. е. а-М-М М и т. д. Таким образом постепенное деление целого по золотому сечению можно изобразить в виде гео ­ метрической прогрессии с знаменателем, равным /5 - 1 2 майор, с обозначением его буквой М, т. е. а, аМ, аМ 2 , аМ 3 , аМ 1 , . . . аТИ 2 " -1 или приняв а=1, М 3 , М 1 , М 2 , Л4 3 . . . Минор — дополнение майор до целого. Сумма двух меньших членов равна большему, т. е. це ­ лому, и таким образом меньший отрезок соста ­ вляет дополнение большего, больший же допол ­ нение меньшего до целого. Отсюда: а) Сумма двух последовательных членов равна предыдущему члену майор 4- минор = целому — их сумме = М т = S, обозначая сумму — S, майор — М, минор — т. 1) М 3 = М^-{-М 2 S = M + m М 1 = М 2 4- /И 3 или 5 = М + т 7И 2 = 7И 3 4-ЛІ 1 S = М-\-т и т. д. отсюда : 2) М° = М^М 2 , но ЛР = 7И 2 + ЛР; следовательно, подставляя в первую формулу значение 7И 1, получаем M 2 -j-M 3 -]-M 2 и далее ЛР = Л4 3 4-ЛВ. Следовательно : м° = 7И з 4- м* 4- 7И з 4- м з 4- м і , но : М 3 = 7И 4 + М\ отсюда : 3) м а = м* + м 5 + мі 4- мв 4- м з 4- лр 4- лр-ф ж а следовательно, и обратно : Лі° = /И 3 4-71^4- М 3 -4ЛР+ М 3 м° = м з 4- лр 4- м з м° = м 2 4- мі м° и т. д. б) Разница двух последовательных членов про ­ грессии золотого сечения равна третьему ее члену: S — М = т и 5 — т — М, так :

GI майор = y (3 — ]/5),

но

BG минор а — у (3 — V 5),

отсюда

01 = ВО. Таким образом деление по золотому сечению, один раз проделанное над основным целым, мо ­ жет быть продолжено до бесконечности, давая золотое сечение высших порядков — непрерывный ряд пропорций по золотому сечению, путем про ­ стого откладывания соответственно каждый раз минор на соответствующий майор. Точно так же, желая к первоначальному цело ­ му, деленному по золотому сечению, прибавить часть, которая находилась бы к нему в том же пропорциональном отношении, остается только отложить на продолжении целого его майор АО до точки К, причем полученный отрезок АК бу ­ дет минор вновь полученного целого АВ-\-АК= = ВК, майор которого будет первоначальное це ­ лое АВ (таблица II, фигура 3). Таким путем достигается пропорциональная связь не только примитивных делений целого по золотому сечению, но более сложные сочетания пропорциональных между собой отношений целого и ряда отдельных его частей — золотое сечение, производное высших порядков. Постепенное деление целого по золотому сече ­ нию дает прогрессию со знаменателем 0,618 . . . Постепенное деление целого по золотому сечению путем непрерывного откладывания минор на со ­ ответствующий майор дает геометрически убы ­ вающую прогрессию со знаменателем = 0,618 . . . и каждый член прогрессии находится в отноше ­ нии, отвечающем золотому сечению как к его предыдущему, так и к его последующему члену. В самом деле, обозначив а целое, b его майор, пропорция золотого сечения дает: а) а : b — b : (а — &); подставив выше приведенное значение для майор, получаем : Ь — а , т. е. а • М ; б) деля вновь первый майор b по золотому сечению и обозначая его майор буквой с, из про ­ порции золотого сечения b : с = с : (Ь — с), получаем Подставив вышеприведенное значение для Ь, т. е. , ( 1/'5 — 1 \ ь = а ^Ч — ) в уравнение . (1^5 — 1 А

М п — М 1 = М 1 и М° — М 2 = М 1 М 1 — М 2 = М 3 и М> — М 3 = М 2

а следовательно : 1)М° — ЛР

но ЛР = /И 3 —

= М 2 ,