Испытание строительных конструкций

Ю.П. ЗОЛОТУХИН

и е п у іт н и і

ШІНИСтРУШІИІ^

Ю. Д. ЗОЛОТУХИН

Испытание строительных конструкций

Допущено Министерством высшего и среднего специального образования БССР в качестве учебного пособия для студентов высших учебных за ведений по специальности 1202 «Про мышленное и гражданское строитель ство»

МИНСК «ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА» 1983

ББК38.5я73 3-80 УДК 624.042(075.8)

Рецензенты: кафедра «Металлические и деревянные конструкции» Белорус ского политехнического института; В. Ш. Барбакадзе, доктор технических наук, профессор кафедры «Строительные конструкции» Московского института инженеров железнодо рожного транспорта.

Золотухин Ю. Д.

3-80

Испытание строительных конструкций: [Учеб, пособие для вузов по спец. «Пром. и гражд. стр-во»].— Мн.: Выш. школа, 1983.— 208 с., ил. В пер.: 55 к. В пособии изложены основные вопросы теории и практики испы тания строительных конструкций при статических и динамических нагрузках. Приведены сведения о методах теории вероятностей и мате матической статистики, оптимального планирования эксперимента и т. д. Уделяется внимание неразрушающим методам контроля. Пособие предназначено для студентов вузов по специальности «Про мышленное и гражданское строительство», а также может быть ис пользовано аспирантами и инженерно-техническими работниками строи

тельных организаций. ^ 3202000000—009 „„ * М304(05)—83 * ‘—*3

ББК 38.5Я73 0С4.05

© Издательство «Вышэйшая школа», 1983.

ВВЕДЕНИЕ

Принятые XXVI съездом КПСС «Основные направле ния экономического и социального развития СССР на 1981 — 1985 гг. и на период до 1990 года» четко определя ют основную экономическую стратегию Коммунистичес кой партии на одиннадцатую пятилетку и последующие годы. Главная задача одиннадцатой пятилетки состоит в обеспечении дальнейшего роста благосостояния совет ских людей на основе устойчивого поступательного разви тия народного .хозяйства, ускорения научно-технического прогресса и перевода экономики на интенсивный путь развития, более рационального использования производ ственного потенциала страны, всемерной экономии всех видов ресурсов и улучшения качества работы. В области капитального строительства, перед уче№- ми, проектировщиками и производственниками поставле на важнейшая задача добиться коренного улучшения строительства путем: концентрации капитальных вложе ний на важнейших стройках; сокращения сроков стро ительства; равномерного ввода в действие производствен ных мощностей; уменьшения до нормативов объемов не завершенного строительства; первоочередного направления капитальных вложений на реконструкцию и техническое перевооружение действующих предприятий; улучшения проектно-сметного дела; повышения уровня индустриали зации и степени заводской готовности строительных кон струкций и деталей; расширения области применения новых эффективных конструкций. Перед советской конструкторской школой стоят от ветственные задачи, исходящие из единства трех начал: конструктивного —максимальной экономии ма териалов при обеспечении требуемой надежности конст рукции на весь период эксплуатации; технологичес к о г о — наименьшей трудоемкости изготовления; п р о ­ изводственного — обеспечения индустриальности изготовления и простоты монтажа. Первая задача решается путем применения современ­

ных методов расчета строительных конструкций, прове ренных и подтвержденных экспериментально. Вторая и третья задачи решаются исходя из конкрет ных условий заводского производства, современных мето дов транспортирования, монтажа и эксплуатации конст рукций. Завершающим этапом проверки принятых в расчете гипотез и допущений являются натурные испытания кон струкций, узловых сопряжений или их моделей,. Динамические напряжения и деформации в рельсах, динамическая устойчивость земляного полотна и влияние динамических воздействий на расположенные рядом с путями здания и сооружения — являются важными про блемами для железнодорожного транспорта. Стремление к более экономичному использованию за страиваемых территорий ведет к дальнейшему увеличению высоты зданий и сооружений, и тогда при их расчете необходимо учитывать динамическую составляющую вет рового напора. Большая территория СССР подвержена землетрясе ниям: все южные районы от Крыма и Молдавии — на За паде, до Камчатки и Сахалина — на Востоке. Анализ зем летрясений, которые носят нередко катастрофический ха рактер, проведенный советскими и зарубежными учеными, показал, что возможно и экономически целесообразно проектировать и строить здания так, чтобы они надежно противостояли сейсмическим воздействиям с достаточно малой вероятностью разрушения. Для этого при проекти ровании необходимо повышение требований к изыска ниям, расчету и конструированию, а при строительстве — к качеству производства работ и строгому выполнению всех проектных рекомендаций, а для новых конструктив ных схем — к экспериментальной проверке принятых при их выборе допущений, контролю качества строительно монтажных работ и надежности сооружения в целом. Многие вопросы, связанные с особенностью расчета строительных конструкций на статические и динамические воздействия, еще не решены и требуют дальнейшей теоре тической и экспериментальной проверки и изучения. Роль экспериментальных методов постоянно возраста ет, что требует от инженера хорошего знания измерительных приборов и методов проведения статических и динами ческих испытаний конструкций.

Глава 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИСПЫТАНИЯХ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

1.1. НАЗНАЧЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МЕТОДОВ

Повышение качества строительных конструкций, их надежности и долговечности при условии значительного уменьшения массы — важнейшие народнохозяйственные задачи в области строительства. Решение этих задач осу ществляется за счет совершенствования строительных ма териалов, применения новых эффективных конструктив ных элементов, улучшения технологии их изготовления, производственного контроля качества исходного сырья и текущих испытаний готовой продукции [1.2, 1.10]. Контроль качества готовой продукции неразрушающи ми методами и выборочными испытаниями повышает на дежность и долговечность конструкций, исключает воз можность аварий. Периодический диагностический конт роль состояния основных несущих конструкций зданий и сооружений инструментальными методами — неотъемле мое условие их нормальной технической эксплуатации [1-4]. Проведение научных исследований в области строи тельных конструкций в большинстве случаев невозможно без всесторонней экспериментальной проверки работы конструкций или их моделей под нагрузкой. В результате испытаний совершенствуется теория, принятая для расче та, оцениваются факторы, которые предусмотреть сложно или вообще невозможно, проверяются достижения строи тельной науки и техники, новые конструкции, надежность которых практикой эксплуатации еще не подтверждена. Сдача в эксплуатацию ответственных сооружений, на пример крупных мостов, без предварительного загруже- ния пробной нагрузкой не допускается. Испытаниям под вергаются и такие конструкции, надежность которых по тем или иным причинам вызывает сомнения. Основная цель испытаний — выявление напряженно- деформированного состояния элементов конструкций или сооружений под нагрузкой, определение возможности их

нормальной эксплуатации, проверка качества строитель ных материалов и работ. В зависимости от характера внешнего воздействия различают испытания статической и дина ­ мической нагрузками. Испытания проводятся на строи тельных площадках и полигонах, на специально оборудо ванных инвентарных и заводских стендах, на механизи рованных и автоматизированных лабораторных стендах и установках. По назначению различают испытания: серийно из готавливаемых конструкций заводского про изводства для текущего контроля и оценки качества изде лий; приемочные для ответственных сооружений пе ред сдачей их в эксплуатацию; эксплуатируемых конструкций и сооружений, когда возникают сомне ния в их надежности; опытных конструкций; мо делей и специальных образцов. К любому сооружению, работающему при стати ческой или динамической нагрузке, предъявляются требо вания прочности, жесткости и устойчивости, пространствен ной неизменяемости и выносливости на всех стадиях воз ведения и эксплуатации, определяемые двумя группами предельных состояний. В то же время при проектировании не должны допускаться излишние запасы прочности, при водящие к перерасходу материалов. Расчет реального сооружения с учетом всех его свойств принципиально невозможен (даже при условии приме нения ЭВМ) в силу очевидной их неисчерпаемости. У ин женера остается проверенный практикой выход — абстра гировать реальный объект расчетной схемой. Вот почему расчет сооружения или конструкции начинают с выбора и анализа расчетной схемы, которую получают из реальной конструкции, освобождая ее от менее существенных при знаков при сохранении главных: размеров и очертания контура, механических и деформативных свойств мате риалов, характера загружения, соединения и закрепления элементов. С одной стороны, расчетная схема должна описывать закономерности натурной конструкции с требуемой точ­ 1.2. РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ РАБОТЫ

ностью, т. е. быть адекватной по отношению к ней, а с дру гой стороны — быть наиболее простой. Поэтому ее выбор всегда связан с идеализацией реального сооружения. В сопротивлении материалов и в строительной механи ке принято, что перемещения и деформации по сравнению с размерами конструкции пренебрежимо малы. Принцип неизменности начальных размеров для большинства строи тельных конструкций не приводит к большим погрешнос тям, по значительно упрощает расчет. Однако в сжато изогнутых стержнях, в вантовых системах и в ряде других случаев линейная зависимость между силами и переме щениями и принцип независимости действия сил неприем лемы, расчет должен производиться по деформированной схеме. Строительные материалы неоднородны и анизотропны, их свойства отличаются от идеализированной модели. В некоторых сечениях элемента возможно появление тре щин — нарушение сплошности. Изменение модуля упру гости при росте напряжений и появление пластических де формаций ограничивают в инженерных расчетах приме нение гипотезы плоских сечений и закона Гука. Внешняя нагрузка в расчетной схеме заменяется изги бающими моментами, сосредоточенными или распреде ленными силами, имеющими полную определенность и простое описание. Реальная схема передачи нагрузки отличается от рас четной. На практике возможно завышение или занижение нагрузок по сравнению с расчетными значениями. Говоря о соединениях и закреплении элементов, следу ет иметь в виду, что жестко закрепленная опора обладает податливостью, а в шарнирной возникают силы трения, си стема связей в расчете отбрасывается или учитывается приближенно. Влияние внешней среды, длительного воз действия нагрузки, изменчивости во времени физико-ме ханических свойств материалов, податливость стыков и узловых сопряжений учитываются в расчете весьма при ближенно. Поэтому заключительным этапом анализа при нятых допущений является обратный переход от расчет ной схемы к реальной конструкции. Качественную и количественную оценки принятых в расчете допущений при таком переходе наиболее полно можно получить только при натурных испытаниях конст рукций, сооружений или их моделей.

1.3. о ПРИЧИНАХ АВАРИЙ

При расчете строительных конструкций по предельным состояниям исходят из того, что за время нормальной экс плуатации сооружения ни одно из предельных состояний не должно наступить. И все же по тем или иным причинам аварии возникают [1.3, 1.6, 1.14] (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Обрѵшеиис элеватора в штате Северная Дакота (США)

Под аварией понимают выход конструкции из строя, ее частичное или полное обрушение. Всякая строительная авария — чрезвычайное происшествие, обстоятельства ко торого тщательно расследуются компетентными комис сиями. Устанавливаются причины аварии и виновные ли ца, делаются выводы, исключающие повторение причин, вызывающих аварию [1.5]. Под надежностью строительных конструкций понимают их способность к нормальной эксплуатации в течение заданного промежутка времени при условии без отказности, долговечности и ремонтопригодности. Безотказность —свойство конструкции сохра нять при эксплуатации работоспособность. Долговеч ность характеризует ее безотказность во времени. Р е- м о н т о п р и г о д н о с т ь — приспособленность конструк ции к восстановлению исправного состояния. а

Надежность строительных конструкций обеспечивает ся: исследованиями и нормированием; разработкой тео рии надежности; качеством проектирования; особенностя ми изготовления и возведения; условиями эксплуатации [ 1 . 12 ]. На основании теоретических и экспериментальных ис следований выводятся расчетные формулы и устанавлива ются нормированные физико-механические характеристики материалов. Однако расчетные формулы основаны на оп ределенных рабочих гипотезах и допущениях, а свойства материалов непостоянны. Это неизбежно приводит к по грешностям и отклонениям фактических свойств конст рукций от проектных. Их безотказная работа становится возможной с определенной степенью вероятности. После включения формул в нормы проектирования экс периментальные данные для вероятностного анализа на капливаются. С течением времени нормы обновляются и совершенствуются. Следовательно, требуемая надежность конструкции закладывается уже при проектировании и за висит от правильности расчета и конструирования. На дежность изготовленных и смонтированных конструкций будет обеспечена, если отклонения от проекта не превы сят установленных нормами допусков. И, наконец, условия эксплуатации должны отвечать предпосылкам, которые учтены в проекте. Причины, вызывающие аварию, редко бывают единич ными. В большинстве случаев — это сочетание нескольких неблагоприятных факторов: недостатки проектных реше ний, низкое качество строительно-монтажных работ, не правильная эксплуатация. К погрешностям проектов следует отнести недостаточ ное обеспечение прочности и жесткости отдельных конст рукций и здания в целом в стадии возведения и в процессе эксплуатации, что может быть следствием: неправильного учета действующих нагрузок; ошибок в расчетах; непра вильно выбранных расчетных схем; дефектов инженерно геологических изысканий; неполноценных конструктивных решений; недостаточной деталировки чертежей; отсутствия необходимых указаний об особенностях строительства в зимнее время и в особых условиях; неудовлетворительного авторского надзора и т. д. Низкое качество строительно-монтажных работ наблю дается при недостаточной квалификации инженерно-тех нического персонала, отступлении от проекта, замене ма­

териалов и размеров сечений без расчета и согласования с проектной организацией, отсутствии должного контроля за качеством поступающих конструкций и материалов, не соблюдении последовательности монтажа и неправильном устройстве опор и фундаментов для несущих конструкций, неточностях при разбивке осей и определении высотных отметок зданий. Нарушение правил технической эксплуатации зданий наиболее часто происходит в результате: перегрузки ос новные несущих конструкций здания дополнительным оборудованием, не предусмотренным проектом; воздей ствия агрессивных сред, которое не учитывалось при проектировании; изменения режима работы оборудо вания, ведущего к появлению дополнительных вибрацион ных и динамических воздействий; ослабления сечений не сущих конструкций при устройстве различных дополни тельных инженерных коммуникаций; нарушения правил использования и содержания зданий; несвоевременного и неудовлетворительного ремонта и усиления дефектных конструкций. Вероятностный подход для обеспечения параметров надежности получил широкое распространение в практике строительства. Изучение и детальный анализ возможных ошибок, допущенных при проектировании, возведении и эксплуатации,— важное звено в обеспечении требуемой надежности новых сооружений [1. 1]. 1.4. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Испытание сооружений — дисциплина о методах про ведения испытаний конструкций, сооружений, их элемен тов или моделей. Совершенствование методов испытаний тесно связано с развитием науки о прочности: сопротивления материалов, строительной механики, теории упругости и пластичности [1. 13]. Единение теории с экспериментальными исследова ниями помогало решать задачи, поставленные практикой строительства. И прежде всего это касалось увеличения перекрываемых пролетов строительными конструкциями. Особенно это характерно при возведении мостов. Выда ющийся русский механик И. П. Кулибин (1735—1818) в 1776 г. разработал проект деревянного арочного моста про летом 298 м через Неву в С.-Петербурге, построил и испы тал модель моста в 1/10 натуральной величины. 10

Проект И. П. Кулибина впоследствии получил высо* кую оценку другого знаменитого русского ученого Д. И. Журавского (1821—1891)—создателя научных ос^ нов теории мостостроения и теории касательных напряже ний при изгибе, основоположника «струнного метода» ис пытаний моделей ферм. В 1828—1832 гг. при строительстве здания Александ рийского театра (ныне Ленинградского театра драмы им. А. С. Пушкина) архитектором К. Росси были предложены новые, оригинальные для того времени, металлические сквозные бесшарнирные арки и треугольные фермы для покрытия и чердачного перекрытия. Арки и фермы изго тавливались на б. Александровском заводе по деревян ным моделям и испытывались сначала на заводе, а затем на месте установки пробной нагрузкой. Как показали ис следования, выполненные под руководством проф. Ю. В. Гайдарова в ЛИИЖТе, несущие конструкции по крытия театра, работающие уже около 150 лет, и в настоя щее время обладают достаточной надежностью. Переход от примитивных испытаний отдельных образ цов строительных материалов на растяжение, сжатие и изгиб к испытанию моделей сооружений и конструкций требовал развития испытательной техники и создания ме ханических испытательных лабораторий. Первая такая ла боратория была создана в 1847 г. И. Годкинсом при Лон донском университете. В России первая испытательная лаборатория была основана проф. П. И. Собко при Инсти туте путей сообщения в январе 1854 г. Благодаря работам проф. Н. А. Белелюбского (1845—1922) авторитет лабо ратории настолько возрос, что в 1878 г. она стала опытной станцией Министерства путей сообщения. В 1884 г. в Мюнхене по инициативе проф. Н. Баушинге- ра была созвана первая конференция по выработке еди ных методов испытания материалов и создан Междуна родный союз лабораторий по испытанию материалов и конструкций (RILEM). Развитие сети железных дорог в середине XIX в. в России и связанное с ним строительство крупных мостов настоятельно требовали совершенствования методов рас чета и конструирования, применения новых строительных материалов. На смену инженерной интуиции приходят рас чет и эксперимент. В России первые исследования железобетонных эле ментов начаты с 1886 г. [1.9]. В 1891 г. под руководством

11

проф. Н. А. Белелюбского в Петербурге на Преображен ском плацу были проведены гласные опыты. Испытыва лись 13 конструкций: бетонные и железобетонные плиты, трубы, своды, резервуар, закром элеватора из сборных элементов и мост. Опыты убедительно подтвердили широ кие возможности применения железобетона в строитель стве. Исключительно большую роль в развитии экспери ментальных методов, способствовавших развитию строи тельной механики и теории сооружений, оказали работы выдающихся русских ученых: М. В. Ломоносова (1711 — 1765), сконструировавшего прибор для испытания проч ности материалов методом истирания; С. В. Кербедза (1810— 1899) — первого исследователя заклепочных со единений, крупного мостостроителя; В. Л. Кирпичева (1845—1913) — основоположника оптического метода иссле дования упругих деформаций, впервые сформулировавше го законы теории подобия; А. Г. Гагарина (1855— 1921) — создателя универсального испытательного пресса; В. Г. Шу хова (1853—1939)—создателя первых пространственных строительных конструкций, гиперболоидных башен и сет чатых сводов [1.7]; Ф. С. Ясинского (1856—1899)—авто ра теории расчета стержней на устойчивость; В. В. Эваль да (1860—1936)—основоположника механической лабо ратории Института гражданских инженеров; А. Н. Кры лова (1863—1945)—исследователя деформаций корпусов судов тензометрическим методом, крупного специалиста в области строительной механики и судостроения; А. Ф. Ло- лейта (1868—1933) —создателя теории расчета железобе тонных конструкций по разрушающим усилиям [1.8]; Е. О. Патона (1870—1953)—крупного мостоиспытателя, основателя Института электросварки АН УССР [1.11] и многих других. Несмотря на серьезные успехи отдельных выдающихся ученых, подлинный расцвет науки о прочности и экспери ментальных исследованиях наступил только после победы Великой Октябрьской социалистической революции. Стре мительное развитие народного хозяйства, невиданные тем пы строительства потребовали расширения сети высших учебных заведений, создания крупных научно-исследова тельских институтов и проектных организаций. По инициативе В. И. Ленина уже в 1918 г. был создан Научно-экспериментальный институт путей сообщения — первый научно-исследовательский институт со строитель 12

ным уклоном в нашей стране. Экспериментальный метод становится надежным и обязательным методом анализа напряженно-деформированного состояния строительных конструкций. Руководителем первой советской школы экспериментальных исследований становится проф. Н. С. Стрелецкий. Однако несовершенство измерительно го оборудования сдерживало масштабы эксперименталь ных работ. Советскими учеными Н. Н. Аистовым, Ю. А. Ни- лендером, Н. Н. Максимовым, К. И. Безуховым, Н. Н. Да- виденковым, А. М. Емельяновым, С. А. Душечкиным и многими другими были разработаны новые измеритель ные приборы (тензометры, прогибомеры, индикаторы, клинометры, вибрографы) и методы экспериментальных исследований. Развитие теории расчета и внедрение в практику строи тельства новых строительных конструкций осуществлялось советскими учеными В. 3. Власовым, А. А. Гвоздевым, Б. И. Жемочкиным, П. Л. Пастернаком, И. М. Рабинови чем и др. Основным материалом для изготовления сборных и монолитных конструкций стал обычный и предварительно напряженный железобетон. Совершенствование теории расчета, проектирования, изготовления и монтажа железо бетонных конструкций стало возможным благодаря боль шому вкладу советских ученых (О. Я. Берга, Г. И. Берди чевского, А. П. Васильева, А. А. Гвоздева, С. С. Давыдова, С. А. Дмитриева, В. М. Келдыша, В. В. Михайлова, К. В. Михайлова, В. И. Мурашова, Б. Г. Скрамтаева, Я. В. Столярова и многих других), коллективов научно-ис следовательских, проектных и учебных институтов, науч ных работников, инженеров, техников и рабочих. Успехи в развитии металлических конструкций (в том числе сварных, предварительно напряженных, вантовых, структурных и листовых) достигнуты благодаря работам Н. С. Стрелецкого, Е. О. Патона, Е. И. Беленя, Ю. В. Гай дарова, Л. Г. Дмитриева, В. К. Качурина, Н. П. Мельни кова, Н. С. Москалева, Б. А. Сперанского, В. Н. Трофимо ва и др. Развитие деревянных конструкций в последнее время характеризовалось увеличением производства клееных кон струкций различного назначения, в том числе и для боль шепролетных сооружений. Большой вклад в совершенство вание деревянных конструкций внесли А. Б. Губенко, Г. Г. Карлсен и др. Ускоренное развитие химической про

13

мышленности позволило использовать пластмассы в строи тельстве в качестве конструкционных материалов. Большой вклад в исследование строительных конструк ций при динамических воздействиях внесли К. С. Завриев, В. А. Киселев, Б. Г. Коренев, И. Л. Корчинский, О. В. Лу жин, Г. А. Шапиро, А. И. Цейтлин и др. Развитие строительных конструкций в настояш^ее вре мя характеризуется применением тонкостенных простран ственных большепролетных покрытий, высокопрочных ста лей и бетонов, клееной и армированной древесины, легких ограждающих конструкций с эффективным утеплителем. При решении сложных инженерных задач, например свя занных с перекрытием больших пролетов, превышающих 200 м, широкое распространение получил метод моделиро вания, разработанный и усовершенствованный В. Л. Кир- пичевым, В. А. Вениковым, А. Г. Назаровым, Д. А. Питлю- ком, А. П. Поляковым, В. Н. Мастаченко и др. Успехи советской конструкторской школы наиболее ярко проявились при проектировании и строительстве спортивных комплексов в Москве при подготовке к Олим пийским играм 1980 г. Непрерывно растущий объем капитального строитель ства, повышение его общего технического уровня тесно связаны с разработкой, исследованием и внедрением в практику строительства новых материалов и конструкций. Этими работами в СССР заняты такие крупные научно- исследовательские институты, как ЦНИИСК им. В. А. Ку черенко, НИИЖБ, НИИСК Госстроя СССР, ВНИИЖеле- зобетон, ЦНИИС Минтрансстроя, ИСиА Госстроя БССР, ЛенЗНИИЭП, КиевЗНИИЭП, ЦНИИЭП жилища, кафедры высших учебных заведений МИСИ, ЛИСИ, МИИТа, ЛИИЖТа, КИСИ, БПИ, ЛКВИ им. А. Ф. Можайского и многие другие. Литература 1.1. Авиром Л. С. Надежность конструкций сборных зданий п со оружений.— Л.: Стройиздат, 1971.— 216 с. 1.2. Аронов Р. И. Испытание сооружений.— М.: Высшая школа, 1974.— 187 с. 1.3. Беляев Б. И., Корниенко В. С. Причины аварий стальных кон струкций и способы их устранения.— М.: Госстройиздат, 1968.— 206 с. 1.4. Бойко М. Д. Диагностика повреждений и методы восстановле ния эксплуатационных качеств зданий.— Л.; Стройиздат, 1975.— 336 с. 1.5. Дмитриев Ф. Д. Крушение инженерных сооружений.— М.: Стройиздат, 1953.— 187 с. 14

1.6. Лаіденко М. Н. Аварии металлических конструкций зданий и сооружений.— Л.: Стройиздат, 1969.— 181 с. 1.7. Лопатто А. Э. Почетный академик В. Г. Шухов — выдающийся русский инженер.—М.: АН СССР, 1951.—125 с. 1.8. Лопатто А. Э. Артур Фердинандович Лолейт.— М.: Стройиздат, 1969.— 103 с. 1.9. Лопатто А. Э. Белелюбский Н. А. Жизнь и творчество.— М.. Стройиздат, 1975.— 154 с. 1.10. Новгородский М. А. Испытание материалов, изделий и кон струкций.— М.: Высшая школа, 1971.— 326 с. 1.11. Патон Е. О. Воспоминания.—КиТв: Держлітвидав Украіни, 1953.—322 с. 1.12. Судаков В. В. Контроль качества и надежность железобетон ных коііструкций.— Л.: Стройиздат, 1980.— 168 с. 1.13. Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материа лов.—М.— Л.: Гостехиздат, 1957.— 535 с. 1.14. Шкинев А. Н. Аварии на строительных объектах, их причины и способы предупреждения и ликвидации.—М.: Госстройиздат, 1962.— 218 с.

Глава 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2.1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Геометрические и физико-механические характеристики строительных конструкций и сооружений, а также дейст вующие нагрузки непостоянны. Поэтому, когда по данным испытаний прогнозируются эксплуатационные свойства кон струкций, средством для решения таких задач служит ап парат теории вероятностей и математической статистики. Экспериментально-статистические методы занимают важное место при испытаниях строительных конструкций [2.11]. Они позволяют построить математическую модель иссле дуемой конструкции, оптимизировать и стандартизировать ее на основе четких и достоверных статистических оценок с применением ЭВМ, что способствует ускорению научных исследований и повышению качества выпускаемых кон струкций. Теория вероятностей изучает закономерности в случай ных явлениях [2.4]. Математическая статистика позволяет выявить объективные закономерности и оценить достовер ность выводов на основании ограниченного количества ре зультатов измерений [2.5, 2.14]. Рассмотрим некоторые положения теории вероятностей и математической статистики, которые необходимы при об работке результатов экспериментальных исследований. Случайной величиной X называют такую величину, ко торая в процессе опыта принимает одно из возможных зна чений JCi, Х 2 у Случайные величины будем обозначать большими буквами, а их возможные значения малыми. Совокупность частных значений одной случайной пере менной величины, полученная при измерениях, называется статистической совокупностью. Генеральная статистическая совокупность содержит все возможные значения случайной величины. В инженерной практике обычно имеют дело не со всей, генеральной совокупностью, а только с ее небольшой 16

частью — выборочной статистической совокупностью. Для того чтобы по результатам выборочной совокупности мож но было оценить генеральную, она должна воспроизводить пропорции генеральной совокупности или приближаться к ней. Следовательно, статистическим путем находят прибли женные параметры распределения с определенной степенью вероятности. Вероятностью Р исследуемого явления А называют отно шение числа случаев т, при которых повторяется эіо явле ние, к числу всех опытов п: Р{А) т/п. При Р{А) = Ояв ление невозможно, при Р(А) = 1 — достоверно. Таким образом, вероятность оценивается положительным числом, причем» 0<Р(Л)< 1. Случайная величина называется дискретной^ если все ее частные значения можно пронумеровать. Непрерывная слу X чайная величина задается интегральным F{x) — J (p{x)dx — 00 d или дифференциальным ср(л:) ^ — F(x) законом распределе dx ния. Статистическую совокупность значений переменной ве личины, расположенных в порядке их возрастания, назы вают ранжированным вариационным рядом. Если члены ряда имеют конкретные изолированные значения, ряд на зывают дискретным, если они заполняют некоторый интер вал,— непрерывным. Иногда непрерывный вариационный ряд условно заменяют дискретным. Ширина интервала для такого ряда определяется по формуле h = ( 2 . 1 > где л'макс И Хмии — наибольшее и наименьшее значения из всей совокупности х\ k — число интервалов, обычно прини маемое от 6 до 12. Графическое изображение вариационного ряда дает наглядное представление о закономерности распределения изучаемого явления в виде гистограммы, полигона или ку мулятивной кривой. Для построения гистограммы в прямоугольной системе координат по оси абсцисс х откладывают интервалы варьи рования, а по оси ординат у соответствующие им частоты. Полученную ступенчатую фигуру 1 (рис. 2.1), состоящую из отдельных прямоугольников, называют гистограмме^. 2. Ю. Д. Золотухин 17

Если через середину верхней грани каждого прямоугольни ка провести кривую 2, получим полигон распределения изу чаемой величины. Он может быть построен независимо от гистограммы и, как правило, служит для изображения дис кретного вариационного ряда (рис. 2.2). Частота, которую обозначим Пі , показывает, сколько раз появляется данное событие в пределах заданного интер вала. Отношение частоты события к общему числу наблю

Р и с. 2.1. гистограмма полигон распределения

Рис. 2.2. Распределение дискретных величин

п дений называют частостью со/ = П і I , Накопленнаячас тога показывает, сколько наблюдалось вариантов со значе нием признака, меньшим или равным х. Отношение накоп ленной частоты к общему числу наблюдений называют на п копленной или относительной частостью У Пі . Для последнего интервала она равна 1. Если по оси ординат отложить накопленные частости от Одо 1, а по оси абсцисс — интервалы варьирования, полу чим кумулятивную кривую, форма которой качественно ха рактеризует изучаемое распределение случайной величины. Построение гистограммы, полигона распределения и ку мулятивной кривой покажем на примере. Пример 2.1. Для 43 образцов из термически упрочненной стали класса Ат-Ѵ определены условные пределы текучести Оо.г, значения ко торых распределены от 775 до 1175 МПа (табл. 2.1). Требуется пост роить гистограмму, полигон распределения и кумулятивную кривую. Решение. При числе интервалов ^=8 по формуле (2.1) h = = 50 МПа. Для каждого интервала в табл. 2.1 приводится число опы

18

тов, в которых Оо ,2 имел значение в пределах данного интервала, ча> стость н накопленная частость, а на рис. 2.3 и 2.4 показаны гистограм ма, полигон распределения и кумулятивная кривая.

Табл . 2.1. Исходные данные для построения гистограммы, полигона распределения и кумулятивной кривой

Частость ©j- =

Накопленная час

Частота пі

нак

п

тость © 1

Интервал а—6, МПа

= "г /Ді ”i

1

0,0233 0,0698 0,1861 0,4884 0,7674 0,9069 0,9767 1

775—825 825—875 875—У25 925—975 975—1025 1025— 1075 1075— 1125 1125—1175

0,0233 0,0465 0,1163 0,3023 0,279 0.1395 0,0698 0,0233

2 5 13 12 6 3

1

975 2©^ = 1,0 Для решения многих практических задач достаточно- определить несколько числовых характеристик случайных переменных величин, которые выражают наиболее суще ственные особенности их распределения. К этим характери стикам относятся: математическое ожидание, медиана, мо да, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффи циент вариации. Если дискретная величина X может принимать значе ния Хи Х 2 у Хп с вероятностями Ри Р 2 у —, Рп, то матема тическое ожидание М(X) характеризует некоторое среднее значение этой величины, вокруг которого наиболее тесно группируются все ее возможные значения (рис. 2.5): 2/г^ = 43

i Xi Pi

Ху Ру -Г Х2 Р2 -\ ---- Р^ Рі -і Pi ■ р.

ЛЦХ) =

( 2 . 2 )

Pi

=

*=1

для непрерывной случайной величины М(Х) = f x(p{x)dx.

2*

19

-где ф(^) —плотность вероятности случайной величины. Когда математическое ожидание входит в формулу как •определенное число, его обозначают тх{гПх=^М{Х)). В гео- ^иетрическом смысле математическое ожидание является

Рис. 2.3. Гистограмма 1 и полигон распределе ния 2 условного предела текучести стали

Рис. 2.4. Кумулятивная кривая условного предела текучести стали

•абсциссой центра тяжести кривой распределения плотности вероятности ф(л:). При небольшом числе опытов п математическое ожида ние заменяют средним арифметическим измеряемой вели чины:

—

+ ^2 +

(2.3)

X

-----------------------

І=1

:20

при увеличении числа опытов среднее арифметическое значение приближается к математическому ожиданию. Медиана Ме{Х )—это такое значение признака х, которое разделяет ранжированный ряд на две равные по объему группы. Геометрически медиана — это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределе ния, делится пополам (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Медиана и мода случайной величины X

ческое ожидание слу чайной величины при нормальном законе распределения

Мода Мо{Х) —это значение признака, которое на блюдается наибольшее число раз (рис. 2.6). Для дискрет ного вариационного ряда модой служит значение, которому соответствует наибольшая частота. Для непрерывной слу чайной величины мода характеризует такое значение х= Мо{Х), при котором максимальна плотность вероятно сти случайной величины. Геометрически моду можно пред ставить как абсциссу точки максимума кривой распределе ния. Кроме одномодальных, встречаются двух-, много- и антимодальные распределения. Для оценки тесноты группирования значений случайной величины около центра служат числовые характеристики рассеивания: дисперсия, среднее квадратическое отклоне ние и коэффициент вариации. Дисперсией случайной величины X является мате матическое ожидание квадрата отклонения значения X случайной величины от ее математического ожидания: D{X)=M[X-M{X)]\ 21

Для дискретных и непрерывных величин дисперсия вы числяется по формулам D{X) = у[Хі—М{ХУ^Рі ; /=1 D{X) = (■[jc — Л1(Х)]* (f{x)dx, —00 где п — число всех интервалов; і — номер интервала; Рі — вероятность попадания в і-и интервал. Дисперсия D(X) характеризует рассеивание случайной величины около ее математического ожидания, причем сред нее квадратическое отклонение 8(Х)=--ѴЩЩ‘- Дисперсия выборочной статистической совокупности,, найденная при ограниченном числе измерений, определяет ся по формуле п (2.4) Обычно пользуются несмещенной оценкой дисперсии^ характеризующейся тем, что математическое ожидание слу чайной величины, несмотря на ограниченность выборки^ равно оцениваемому параметру: > п — (2.5) п—\ Несмещенная оценка не содержит систематической ошибки и достигается благодаря учету того числа степеней свобо ды f = n—\y которые учтены в предварительных вычисле ниях. По мере неограниченного возрастания числа измерений среднее квадратическое отклонение стремится к истинному значению-стандарту:

п— 1

( 2 . 6 )

/=1

n— 1

22

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение харак теризуют степень разброса, рассеяния результатов отдель ных измерений относительно среднего значения. Для харак теристики того, насколько хорошо среднее арифметическое значение представляет анализируемое распределение или вариационный ряд, пользуются коэффициентом вариации (в процентах) (2.7) ф) = •100. X Коэффициент вариации для генеральной совокупности Ѵ(Х) = Л1(Х) ( 2 . 8 ) Для описания основных свойств распределения, кроме математического ожидания, медианы, моды и дисперсии, пользуются моментами различного порядка. Начальный момент 1-го порядка равен математическо му ожиданию. Начальный момент /г-го порядка дискретной величины «s(X )= i = l для непрерывной величины оо «S (X) == ф(л;) dx. —оо Центральный момент ^-го порядка для дискретной слу чайной величины определяется по формуле

t = l э для непрерывной величины оо

1** = J {х — nixY ф(л:) dx. — ОО

Центральный момент І-го порядка для любой случай ной величины равен нулю, а центральный момент 2-го по рядка равен дисперсии случайной величины. Центральный момент 3-го порядка характеризует асимметрию распреде ления S,.-[Xз/a^ (2.9) где — коэффициент асимметрии.

23

Центральный момент 4-го порядка характеризует кру тость кривой распределения. Например, для закона нор мального распределения [ іііо ^ = 3. Е сли эмпирическая кри вая отклоняется от теоретической, для оценки степени отклонения служит коэффициент эксцесса 3. ( 2 . 10 ) В практике испытаний сооружений распределение опыт ных величин наиболее часто подчиняется нормальному за кону распределения Гаусса (см. рис. 2.5) с плотностью ве роятности - (х У ф(^) = 2(У2 ( 2 . 11 ) аі/ 2п Для нормального распределения коэффициент эксцесса равен нулю. Описанные методы оценки результатов измеренй^і на зывают точечными. Для того чтобы точечная оценка имела смысл, ее значения должны быть указаны в пределах дове рительных границ с известной вероятностью. Другими сло вами, должны быть найдены не только числовые значения параметров, но и определены погрешности измерений. Пусть результаты измерений отличаются от истинного значения на величину Д а :: X — Д а : < х < X + Ах. Доверительной вероятностью результата серии измерений называют вероятность того, что истинное значение х изме ряемой величины попадает в доверительный интервал X _ Д а :. В теории вероятностей доказано, что в пределах х + о находятся 68,3 % всех измеряемых значений величин,-в’пре- делах а ; + 2а — до 95,4 %, а в пределах х zr За — 99,7 %. Однако, чтобы среднее квадратическое отклонение стреми лось к стандарту, необходимо выполнить много измерений, что при испытаниях конструкций не всегда возможно. Для нахождения оценки доверительного интервала при ограниченном количестве опытов используется распределение Стьюдента. Коэффициент Стьюдента ta зависит от числа произведенных измерений п и вероятности £: Дх і/ п fa=^— ------. (2.12)

24

Табл. 2.2. Значения коэффициента Стьюдента

при Р

Значение

при Р

Значение

f= n - l

f=n -\

0,90 0,95 0,99 0,999

0,90 0,95 0,99 0,999

6,31 12,7 63,7 637,2 9 1,83 2,26 3,25 4,78 2,92 4,3 9,92 31,6 И 1,8 2,2 3,11 4,49 2,35 3,18 5,84 12,9 13 1,77 2,16 3,01 4,22 2,13 2,78 4,6 8,61 15 1,75 2,13 2,95 4,07 2,02 2.57 4,03 6,87 17 1.74 2,11 2.9 3,97 1,94 2,45 3,71 5,96 19 1.73 2,09 2,86 3,88 1,89 2,36 3,5 5,41 20 1,72 2,07 2,82 3,85 1,86 2,31 3,36 5,04 00 1,64 1,96 2,58 3,29 Измеренное значение величины попадает в доверитель ный интервал __ S _ S x — ta :Г7=- < X< д; + to. V п у п

при заданной вероятности Р. В табл. 2.2 приведены значения доверительной вероятности Р и числа = п — 1. При п > 20 распределение в нормальное распределение Гаусса.

коэффициентов для степеней свободы / = Стьюдента переходит

Чтобы воспользоваться соответствующим аппаратом ма тематической статистики, следует убедиться, подчиняется ли распределение, найденное экспериментально, нормаль ному закону. Если число опытов ограничено (/г<25), для выявления закона распределения вычисляют коэффициенты асиммет рии и эксцесса, которые характеризуют скошенность и кру тость экспериментальной кривой по сравнению с теорети ческой кривой нормального закона распределения (рис. 2.7, 2 . 8 ) :

(2.13)

S. -

(2.14)

Если

lS,x|<3]/ si

25

6 (« — 1)

(2.15)

где

S^A

(/г+ 1) + 3) ’

24л (п — 2) (л — 3)

(2.16)

S e =--

(п

1)2 (« + 3) (п -I- 5) ’ то наблюдаемое явление подчиняется закону нормального распределения [2.24]. Методика вычислений показана на примере.

Рис. 2.7. Асимметрии; / — положительная; 2 — от рицательная

Рис. 2.8. Эксцессы; / — положительный; 2 — отрица тельный

Пример 2.2. Испытано на разрыв 10 образцов арматуры из высо копрочной проволоки класса В-ІІ. Временные сопротивления стали Ов даны в табл. 2.3. Требуется определить, подчиняются ли полученные результаты измерений нормальному закону распределения. Решение. По формуле (2.3) определяем среднее значение Ов. Необходимые для дальнейшего расчета данные приведены в табл. 2.3. Среднее квадратическое отклонение находим по формуле (2.5): s — = 29,52 МПа. При п = 10, Р = 0,95, / = 9 по табл. 2.2 находим = 2,26 и определяем погрешность измерений = У п = 21,1 МПа. Доверительный интервал значений временного сопротивле ния находится в пределах 1874,7— 1832,5 МПа при коэффициенте ва риации ѵ(х) = 1,59%. По формулам (2.13) и (2.14) находим коэффици енты асимметрии и эксцесса: 5^^ = — 0,164, = — 1,81; по формулам (2.15) и (2.16)— «А — 0,378, =0,56 и проверяем условия | |= = 0,164<3 у =3 V 0,378 = 1,84 и I= 1,81< 5 ѴоЖ = = 3,74. Следовательно, приведенные в табл. 2.3 результаты подчиня ются нормальному закону распределения. Статистическим путем находят приближенные числовые характеристики распределения случайной величины, поэто му выводы о параметрах генеральной совокупности в не 26

и Ej^

Табл . 2.3. Данные для вычисления s,

(Хі -х)*

(XI - х)і

(XI - X)

(XI -X)»

(Ув , МПа

3 613 648 1 129 458 669 058 217,678 0,13 16 889 209 727 485 753 972 117 1 755 519

1900,96 1062,76 817,96 466,56 129,96 457,96 696,96 985,96 1324,96 0,36

—43,6 —32,6 —28,6 —21,6 —0,6

—82 881,8 —34 645,9 —23 393,6 —10077,7 —0,216

1810 1821 1825 1832 1853 1865 1875 1880 1885 1890

1481,5 9800,3 18 399,7 30 959,1 48 228,5

11,4 21,4 26,4 31,4 36,4

2 9 069 847

2 —42 130

S 18 536

А'=1853,6

2 7844,4

которых случаях могут оказаться ложными. Чтобы избе жать ошибочных заключений при анализе результатов из мерений, необходимо удовлетворять требования несмещен ности, эффективности, состоятельности и достоверности оценок. Обеспечение несмещенности гарантирует отсутствие си стематической ошибки при оценке параметров распределе ния. Наиболее эффективным является распределение, дис персия которого меньше. Для получения состоятельной оценки увеличивают выборку, чтобы ошибка не превысила заданного значения. Распределение считают достоверным, если оно содержит всю информацию о результатах испы таний. На практике эти требования не всегда удовлетворя ются, и в статистической оценке принятой гипотезы могут быть допущены ошибки первого рода, когда отвергается правильная гипотеза, и второго рода, когда принимается неправильная. Вероятность совершить ошибку первого ро да обычно выражается уровнем значимости ^=0,01—0,05. Для проверки правильности принятых предпосылок при испытаниях конструкций наиболее часто используется гипотеза о равенстве двух нормальных генеральных сово купностей или /^-распределение Фишера — Снедекора. Если действительный закон распределения неизвестен, сравнение ЭхМпирического и теоретического распределений производят на основании вычисления критериев согласия Пирсона Колмогорова, Смирнова и др. Методика определения пара метров распределения показана на конкретных примерах. 27

Табл. 2.4. Расчет теоретического распределения по нормированной плотности нормального распределения

Теорети ческая частота «т

a-hb

Эмпиричес кая часто та пі

х-М(Х)

Интервалы а—Ь, МПа

п — <р(0 а

Ф(О

775—825 825—875 875—925 925—975 975—1025 1025—1075 1075—1125 1125—1175

1 2.5 7 11 11 7 2.5 1

1

800 850 900 950

0,0189 0,0848 0,2275 0,3752 0,3752 0,2275 0,0848 0,0189

0,57 2.57 6.89 11.37 11.37 6.89 2.57 0,57

-2,47 -1,76 -1,06 -0,35 0,35 1,06 1,76 2,47

2 5

13 12 6 3

1000 1050 1100 1150

1

X - 975 МПа;2л,. =43; s = 70,9 МПа; h = b0 МПа; 2/г^ = 43 Пример 2.3. По данным примера 2.1 проверить, подчиняется ли эмпирическое распределение условного предела текучести арматурной стали нормальному закону Гаусса. Решение. Первую проверку производим по нормированной плотности нормального распределения Ф(0=: ^ уш -ІЧ2 где t — нормированное отклонение случайной величины, определяемое по формуле t= [x—M(X)]lo\ л:=(а+6)/2 — среднее значение о в в интервале. Плотность распределения случайной величины х определяется функцией Ф(;с) = — Ф(0- а Для определения теоретической частоты условного предела теку чести в пределах каждого из интервалов функция ф(/) умножается на ширину интервала h и общее число измерений п. После округления тео ретических частот сравниваем их для каждого интервала с эмпириче скими значениями. Значение функции ф(/) определяем по таблицам, например табл. 3 приложения [2.5} или табл. 1приложения [2.14, 2.15]. Результаты вычислений даны в табл. 2.4, из которой видно, что теоретическая частота несколько отличается от эмпирической, но рас хождения таковы, что гипотеза о справедливости нормального закона распределения принимается. Учитывая, что рассмотренный способ недостаточно точен, так как расчет ведется по серединам интервалов наблюдений, используем функ ияюР{а<. х <Ь) = — — где ti = [a —М(Х)\Іо и = = [6 — (^)]/сг — нормированные отклонения для начала и конца ин тервала. Значения функции Ф(і) приводятся в литературе (см., например, табл. 2 приложения [2.14]). Результаты вычислений сведены в табл.2.5.

28

Табл. 2.5. Теоретическое распределение по функции Р(а<хсЬ)-= ^Ф(іг)—^Ф(к)

£

S'

Интервалы а—Ь, МПа

л н о н й Э*

1

Пт

1 .О

пР

-|(N

Q,

775—825 1 -2 .8 2 —2,12 0,4975 0,483 0Д15 0,64 1 825—875 2 - 2 ,12 — 1,41 0,483 0,4205 0,0625 2,68 2,5 875—925 5 — 1,41 -0 .7 1 0,4205 0,261 0,1595 6,85 7 925—975 13 -0 ,7 1 0 0,261 0 0,261 11,22 11 975— 1025 12 0 0,71 0 0,261 0,261 11,22 И 1025— 1075 6 0,71 1,41 0,261 0,4205 0,1595 6,85 7 1075— 1125 3 1,41 2,12 0,4205 0,483 0,0625 2,68 2,S 1125— 1175 1 2.12 2,82 0,483 0,4975 0,015 0,64 1 Из табл. 2.5 видно, что эмпирическое распределение условного предела текучести стали подчиняется нормаль ному закону Гаусса. Пример 2.4. Для 124 стержней из стали класса Ат-Ѵ той же по- ставки, что и в примере 2.1, определен условный предел текучести Оо.г^ Табл. 2.6. Теоретическое распределение по интегральной функции f(6)=4+4-Ф (о

Частость 'Н (і>і --------- п 2 П/ і=1

к со X М

F(b)=~+ 9. 2

с* сно о Uн 00

^ _ [Ь-М (Х)]

Интервал а—Ь, МПа

—ф(і) 2

а

S й « X 3

zr

—0,492

800—840 2 840—880 3 880—920 8 920—960 14 960— 1000 32 1000— 1040 30 1040— 1080 20 1080— 1120 9 1120— 1160 4 1160— 1200 2

0,0161

0,0161 —2,41

0,0081

0,0242 0,0403 — 1,82

—0,4 6 5 5 1 0 ,0 3 4 5

0,0645 0,1129 0,2581 0,2419 0,1613 0,0726 0,0323 0,0161

0,1048 — 1,24 0,2177 -0 ,6 6 0,4758 —0,07

—0,3925.

0,1075

—0,24551 0,2545

0,472 0,695 0,862

—0,028 0,195 0,362

0,51 1,09 1,68 2,26 2,85

0,7177 0,879 0,9516 0,9839

0,4 5 3 5 1 0 ,9 5 3 5

0,488 0,4977

0,988 0,9977

1

А = 40 МПа;

= 124;

== 1;

х = 1005 МПа; s = 68.5 МПа

29

Результаты испытаний разбиты на 10 интервалов и даны в табл. 2.6. Сравнить опытные и теоретические результаты по накопленным часто стям, вычисленным для нормированных отклонений верхних границ интервалов /= [ 6 —Л1(Х)]/а по интегральной функции f( 6 ) = l/2H- + 1/2Ф(0. Решение. Значения функции Ф (t) определены по табл. 2 при ложения [2.14] и приведены в табл. 2.6. Теоретические и опытные значения накопленных часто стей отличаются незначительно. Пример 2.5. По данным примера 2.4 оценить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о нормальном законе распределения условного предела текучести арматуры при уровне значимости (/=0,05. Решение: Результаты вычислений при х — 1005 МПа, п = 124 и <7 = 68,5 МПа даны в табл. 2.7. Вероятность попадания условного пре дела текучести в каждый из интервалов определяется по формуле — Ф где а и Ь — соответственно начало и конец интервала; Ф — функция Лапласа, определяемая по табл. 2 приложения [2.10]. Например, для первого интервала р / 840— 1005 \ / 800— 1005 Гі = ф — Ф 68,5 ^ \ 68,5 = Ф(— 0,4920) —Ф (— 0,4980) = 0,0066; nPf = 124 . 0,0066 = 0,82. |=Ф (_2 ,4 і ) —Ф(—2, ,99). Р(а < х < 6) = Ф

Табл. 2.7. Оценка нормального закона распределения по критерию согласия Пирсона

Г л ,. -пРі пРі

(пі -nPi )•

Интервал а—by МПа

Пі — nPi

ПРі

Рі

а О 5 со V

2 0,0066 0,82

1,39 0,07 1, 12 21,53 29,7 5,29 0,46 5,43 0,08 0,64

.800—840

1,18

1,7

—0,27 — 1,06 —4,64

840—880 3 0,0264 3,27 880-920 8 0,0731 9,06 920—960 14 0,1503 18,64 960—1000 32 0,2141 26,55

0 ,02 0 , 12 1,16 1,12 0,19 0 , 02 0,48 0 , 02 0,53

5,45 2,3

27 J

1000—1040 30 0,2234 1040—1080 20 0,1668

—0,68 —2.33 —0,29

20 ,68

1080— 1120 9 0,0914 11,33 1120—1160 4 0,0346 4,29 1160—1200 2 0,0097 1, 2

0 , 8

30

Критерий Пирсона вычисляется по формуле х“ = і: (n , ^nP , f пР.- где Пі и пРі — соответственно эмпирическая и теоретическая частоты.. По табл. 2.7 = 5,36 при числе степеней свободы г = = k — 3 = 7 и уровне значимости ^ = 0 , 0 5 , критерий Пир^ сона 14,1 (по табл. 4 приложения [2.4]). Так как х^ = 5 , 3 6 < х ^ = 14,1, гипотеза о нормальном, распределении при уровне значимости q — 0,05 принимается. Приведенные выше формулы справедливы, когда х представляют собой независимые результаты равноточных измерений. Если результаты опыта описываются не одной, а двумя или несколькими случайными величинами, для оценки их результатов применяют аппарат дисперсионного' или корреляционного анализа. На физико-механические свойства испытываемых кон струкций оказывают влияние разнообразные факторы, за висящие от технологии изготовления, свойств материалов,, податливости соединений, изучение которых может вестись по различным методикам с применением разных измери тельных приборов. Дисперсионный анализ [2.5] позволяет выбрать наиболее важные факторы и оценить их влияние на исследуемую величину. В практике испытаний строи тельных конструкций применяют однофакторный и двух факторный дисперсионный анализ при условии, если спра ведливы допущения о нормальном законе распределения и о взаимной независимости результатов измерений, а также линейном влиянии факторов на изучаемый показатель и тождественности дисперсий. Допустим, что при измере ниях определены т совокупностей независимых значений величины X, в каждой из которых произведена выборка объ емом п. Среднее арифметическое для каждой серии измерений п основы ДИСПЕРСИОННОГО и КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА

(2.17)

Хц,

/=1

Ш