Гидротехнические сооружения. Том I

вертикальной осп Z весьма малы; можно прене бречь происходящим вследствие этого относитель ного движения изменением моментов инерции Ѳ х — Мк2 и т. д. относительно осей X, Y, Z. Пусть m обозначает массу верхней рамы, h — высоту ее над центром тяжести О (OD = h); остальные обозначения те же, что в гл. V' и VI. Отнесем Движение к неподвижной относительно земли системе осей X X Y X Z X ; в положении покоя с этой системой совпадает система OXYZ глав ных центральных осей. Составим уравнения движения рамы. Внешними силами, приложенными к раме, являются упругие реакции стоек. Выражения для проекций этих сил на оси и момента нх относительно оси даны в главе II (в настоящем случае 7, = 7» = 7 ) . За мечая еще, что перемещения центра тяжести пли ты D, отнесенные к осям X X Y X Z X („абсолютные" перемещения) будут: 5 + мг + «о. ч — mi + v 0 , получим два уравнения движения центра инерции: + + ! > „ ) = - 4 < + , (1) m ( Ѵ | — Ь <р, + ѵ 0 ) = — 4С 2 Т). ( 2 ) Уравнение моментов Количеств движения отно сительно центра инерции: . (? 3 + ?') = — (47А, + 4Z 2 c 2 ) ? , (3) где в отличие от главы II момент инерции рамы относительно оси Z обозначен через mk'jj (то же самое, что игр 2 в главе II). Обратимся теперь к составлению уравнений движения всей системы; эти уравнення заменят уравнения (12) — (15) главы V. В н е ш н и м и силами, действующими на си стему, являются реакции упругого основания (о силе веса см. примечание в главе V), выражения которых даны в главе V. Применяем теоремы ко личеств движения n моментов количеств движе ния. Проекции главного вектора количеств дви жения системы на оси суть (при наших упроща ющих дело предположениях 1—4 ) m щ + ті, м ѵ 0 -f mr h mm^ Так как производные этих величии по времени равны соответствующим проекциям равнодейству ющей внешних сил, то находим: Mïi о + т j + С х»о — СЬ х у. 2 = 0, (4) M ѵ 0 + m ri + GyV 0 + Cyüy i = О, ( 5 ) mw 0 + c e w 0 = 0. (6) Моменты количеств движения относительно осей суть (при тех же упрощающих предположениях); М/сY — mh'r\, МкЦі + mhi, Мк\у 3 + mk 2 D y. Ill ои:;водныс по времени этих величин равны главным моментам внешних сил относительно со ответствующих осей. Получаем: Л/ / +? , - тм + ( а д + с у ы) <р, + с ѵ ъ ѵ о = 0, (7) мкр ь + тьі + ( cj2 + c z? 2 ) ь - с х ъщ = 0, (8) ММ' Ъ + (CyPÏ + C xP ï) ь + mk" D y — 0. (9) Полученная система 9 диференциальньпе урав нений распадается на четыре независимых груп пы: (1), (4), (8); (2), (15); (17); (3), (9); (6). Отме-

тпм,что, отбросив упрощающие предположения 1 - 3 , мы получили бы в общем случае девять связан ных друг с другом уравнений. 1 группа

м о +

- Ьйі

)

, 2 " i

-, у . — о , _

, —о

f

(Ю)

л

J c 2 t î + M М +

<р 2 — Ьы- л щ — о,

г

щ + h' ?2 + і + ш 2 ? = 0 .

j

2 группа

m ••

—

v

г-о +

йу*vo + ъ<о/у j = О,

m •• MM i + J J h r i + Ч И 7 Ч 2 <Р( + ЬюуЧ'о = О, vo + ml + + <°г 2т 1 = о 3 группа

(Н)

(12)

9 +

9з '

= 0 .

Частота колебания по оси Z была определена выше. Горизонтальное движение рамы на нее не влияет (см. уравнение (6)). Обозначения здесь при няты те же, что в § 4: u> v _» ç _в главе II были соответственно обозначены <о 3 , <о 1( <о 2 . Уравнения, определяющие частоты колебаний, составляются тем же способом, что и в главе VI. Получим: 1 группа -ъшр

Д, (0)2) =

0)2,

= 0;

— h 0 ) 2

7

I W

„ 1 <>/—•>

. ~ 2

h ш х > —

' ^ К : 9i • 0 ) 2 )

2 группа

ь О),. V — 7/0)2 ад,-* 2 )

r - A J » 2 . - 0)2, Ш т 2 — 0)2 , 1 - о 7 TO 2 Ь<У> ~ h ji<»' -

Д 2 (О>2) =

: 0 .

3 группа

Л з Ч Д -

0 ) 2 , - S

0)2

Al D

Д 3 (0)2) =

= 0.

0)2, оГ ? 2 _ o)2 Раскрывая определители, получим: Д, ( 0 . 2 ) = { - 0.2)(Щ2 _

0 ) 2 ) -

<02 \ (?ср>1 + 27»7,0) д 2 +

- Ь 2 о , ^ ) ( Ц 9 _ 0 ) 2 ) - J

+ й 2 ^ ) - о ) 2 ( 7 2 2 + Л а ) ] = 0 ,

( 1 3 )

Д 2 (0)2) = { А 2 ( 0 ) 2 - 0 ) 2 ) ( < 0 ~ 2 _ 0.2у й у * } ( і т 2 _ о.») _

_ 0)2 ( / t - 2 + / , ' - ) ] = о ,

( 1 4 )

Д , ( 0 ) 2 ) = / + ( ^ - 0 ) 2 )

- 0 ) 2 ) -

- J ' 4 « 4 = O .

(15)