Гидротехнические сооружения. Том I

227

V . СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ АБСОЛ. ЖЕСТКОГО МАССИВА

где 7+ 7; 2 ,к 3 — радиусы инерции тела относительно осей Х,~Т, Z. В уравнения (6) н (7) не включена сила веса, так как мы рассматриваем малые ко лебания около положения устойчивого равновесия тела, в котором сила веса уже уравновешена ста тическими реакциями грунта. Величины щ , . . . , ср 3 отсчитываются от этого положения равновесия. Уравнения колебаний (6) и (7) представляют на основании формул (3) и (5) совокупную систему связанных друг с другом уравнений. Это значит, что, создав свободные колебания, например, вдоль оси X, мы тем самым возбудим в общем случае колебания и вдоль осей Y и Z, а также колебания поворота вокруг всех осей. Сообразно этому мы имеем шесть главных колебаний и шесть главных частот. Практическое значение представляют некоторые частные случаи, когда система уравнений (6) н (7) упрощается, распадаясь на несколько независи мых друг от друга систем. С л у ч а и у п р ощ е н и я . 1°. Оси A© У явля ются главными осями инерции площади основа ния; центр тяжести О тела А проектируется на основание в точку, лежащую на оси X'. В этом случае: " Рі2 = 0 , У с = 0 . Обозначив еще г с — — Ь (высота центра тяже сти О над плоскостью основания), получим: (8)

mvo + су ѵ о + сух с

[ (10)

mhhi з+

[су < Р \ +х%) + с хр .{'] ? 3 +

J J

+ сух 0 ѵ о + Cybx c f l = 0.

Уравнения распадаются на две независимых группы. Связанными друг с другом оказываются колебания вдоль продольной оси X, вертикальной осп Z и вокруг поперечной оси Y, а также ко лебания вдоль оси Y и вокруг осей X и Z. На пример, перемещение вдоль оси X вызывіет горизонтальные реакции основания, направлен ные противоположно оси X и дающие мо мент относительно поперечной оси У"; при пово роте вокруг этой оси плоскость основания получит вертикальные перемещения, следствием которых явятся вертикальные реакции основания и пере мещение Wo 2°. Центры тяжести О (тела -4) и С (площади основания) находятся на" одной вертикали; оси X' и Y' являются главными осями инерции пло щади основания. В этом случае: Р)2 = 0, х с = 0, у с = 0. (И) Получаем: Мй о + С х щ — СУ+ 2 = О

Мк\ Ъ + (С. Х Ъ? + C' zPl ?) ? 2 - С Мщ + C z w a = О, мщ + cyvg + cybfi = О, Mkfu + (C zP f + СуЪ?) + С у Ь ѵ а = о. I Mkfb + (C y? l + C x £) ? 3 = 0.

(13) (14)

M щ + С х щ — С Х Ъ Ъ = 0, Мк?ъ + [с х ъ* + с 3 ( — С х Ъщ — C z x c w 0 - О, mwq + ggwо — c z x a f 2 — 0.

"I

+

- I

I (15) В этом случае мы имеем четыре независимых друг от друга группы уравнений колебаний. VI. ЧАСТОТЫ ГЛАВНЫХ КОЛЕБАНИИ. ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР продольной J О)

Для определения частот свободных колебаний в случае 2° главы V мы можем воспользоваться результатами^ исследования главы II. Введем обо значения:

„ оси и колебания поворота вокруг поперечной 1 J поперечной т ѵ „ s осн. Частоты этих колебаний нандем продольной по формуле (13) главы И:

& — 9 я — ш 2 - m - al

" А 2 '

m

2

w - J

(1)

К . - 4 2 ) 2 . 4 2 1 4 К - ѵ ) а , , © 2 » 4 Н ( f J

mlif

і , 2 .

(6)

mk 3 ? \l h ) ' [ Уравнения (12) —(15) главы V примут вид: Щ + 4 2 Мо_— = о, к 2 ? if] + u 1

- а = ѵ + о > ѵ

+ ©

<0 ? / 2+ (О

Wis 2 ,

(2) (3) (4) (5)

щ = a>? z w 0 = 0; ѵ 0 +~«>у% + Ѵ Ь г ' ® = °> к ? ъ + k S f i ï i + ъ<ь \ ѵ й = 0; ?з + < О Р а = 0-

Разберем численный пример, положив в оспову данные главы IV, которые мы теперь немного окру глим (рис. 280). Предполагаем, что рамный фундамент заделан в железобетонную плиту, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда 8 X 5 X 2 .и 3 . Примем коэфициент оседания грунта c z —10 3 «г/л 3 ; для ісоэфиционтов упругого сдвига возьмем 1 ) с „ = = Су— 0,5 • 1 0 3 m/ . « 3 , ИЛИ 2 ) с х — с у = 0 , 7 5 - 1 0 « m /. к*. Вес сооружения:

w z и 4 » суть частоты вертикальных колебаний и колебаний поворота вокруг вертикальной оси. Уравнения (2) и (4) определяют колебания вдоль

Made with FlippingBook - Share PDF online