Гидротехнические сооружения. Том II

III. СВОДКА ФОРМУЛ И ОБОЗНАЧЕНИЙ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА б 2 1. Скалярное произведение векторов \а, Ь есть следующий скаляр: («, Ь) = ab cm ( â j ) te о х V 4 - ay by + a z b z , где Лапласа." a x , a y , a z , b x , by, b z — проекции векторов на оси Г 1 ^ ^ координат. _ Ѵ Ч = + 9. Операция " f + " f a обозначается V 2 —второй диференциальный параметр или на

дк' і ~ т —уравнение Лапласа. 10. Линейный интеграл вектора а вдоль данной кривой L есть скаляр <)у"

2. Векторное произведение векторов а, Ь есть вектор, перпендикулярный к плоскости векторов а , Ь, надлежаще направленный (для левовинтовон системы координат, согласно правилу левого винта и аналогично для правовинтовой) и имею- _Л„ щий длину ab sin (a, b) . 3. Единичный вектор, (орт) есть вектор, длина которого равна единице. Единичный вектор, при координатных осях ох, су, oz — i, j, k. 4. Векторное произведение | а, Ь\ может быть предсіаылено в виде определителя

j (a, dr ) = j a x dx-\-aУ dy + a z dz,

где dr — элемент кривой L. 11. Поток вектора а через данную поверх ность .v есть скаляр, равный поверхностному ин тегралу ( я , есть единичный вектор нормали к s):

j (a, /;,) ds — j j a x dy dz 4- f j a y dz dx

i j k а х ау a z ЬX Ьу b;

(а,

1]

a z dx dy — I a n • ds .

Компоненты [ a , b ] по координатным осям равны соответствующим нормам определителя: с „ „ - , 5. Всякий вектор а может быть представлен а = i а 4- j ay -j- к а г . 6. Градиент скалярной функции р есть вектор в виде

J

12. Теорема I аусса:

поток вектора через

Пихнутую поверхность равен объемному пнте-

гралу от дивергенции вектора

,-ds j a„-ds —

j dive • dr,

•Г дг grad Р = I дх ' J dy обозначенный иначе у : , 'Л е

І • i f - i /. Г J ~утт "Г Л —_ , дг

где e — объем, ограниченный замкнутой поверх ностью s,' 13. Теорема Стокса: линейный интеграл век тора а по замкнутому контуру равен потоку вихри через любую поверхность, ограниченную этим контуром: ,(] ( a, dr ) — j (rot a, іц) ds. i ' /. 14. Градиентное произведение вектора «на век тор b есть вектор (6, grad) a — ( by ) а

У = дх

± + J L ду ^ dz

— оператор Гамильтона. 7. Расхождение или дивергенция вектора а есть скаляр да х day div а -, - - - - у ду дх да, дг 8. Вихрь вектора а есть вектор равный day ~ dz ) + J f да, \~dz

да.y

да.у '

. da x bx

+ b z z

T "y ~ду~ +

day

да у

+

M day

by

fa

+ by

4 bz

ду

~Gz"

, da v

dx

~dx ' ~

"dy

da z dz

да z "ду + l' z

+ "

b x

fa

dx + by

• l

обозначаемый cur l « (английское обозначение) или rot ч (немецкое обозначение). Символическая запись: rot

15.

grad а - = («, grad) a --)- [p, rot),

16. grad rot a — rot g r a d « p = 0 . 17. rot rot a • - grad div a — y " a ,