Динамическая устойчивость упругих систем

§ 89]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 499 2. Пусть рама находится под действием узловых перио дических сил. Частоты всех сил будем считать одинаковыми. Дифференциальные уравнения движения, составленные для каждого стержня, имеют вид Е) д4v, + ( ·N, + r..N f t) iAJi + д2v 1 - О 20 1 i дs• сх Oi 1" ti cos :J дsз тi дtJ - ( • ) (l= 1, 2, ...• р), где обозначено: vi (s, t)- поперечный прогиб l-го стержня, Eli и т,-его жесткость и погонная масса соответственно, cxN 0 i + ~Nti cos fJt -возникающая в стержне динамическая nродольная сила, сх и ~-параметры, с точностью до кото· rых заданы постоянная и периодическая состав.1яющие внеш· lieй нагрузки. Общее число уравнении р равно числу эле ментов рамы. Решения уравнений (20.1) до.1жны удовле творять геометрическим и динамическим граничным ус· .ювиям. Существенным является то, что задача сведена к диф ференциа.'lьным уравнениям с периодическими коэффициен тами. Как известно, границам областеR неустоRчивости для этих уравнений соответствуют периодические решения с периодом 27t/IJ и 4-::f'J. Рассмотрим одно из уравнений (20.1), опустив при этом индекс: д2v EJ дs 4 + (cxN 0 + ~N,cosfJt) дs 2 -f-т дt~ =О. (20.2) Пер~одические решения с периодом 47t/'J ищем в фор~1е рядрв 00 v (s, t)= ~ х () . k8t k s sшт (20.3) k=1. 3, 11 дfv - д2v

или

00 v (s, t)= ~ ..,. ( )

kOt .!:!.k s cos 2 .

(20.4)

k=1, 8, 11"

В раэложениях (20.3) и (20.4) Xk (s) и Ek (s)- неизвестные пока функции. Если подставить ряд (20.3) в уравнени~

32"