Динамическая устойчивость упругих систем

§ 5) ОПРЕД1'ЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ 47

подмечено еще Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым 1). Влияние i-A гармоники на ширину k-й области неустойчи вости составляет, как это видно из уравнения критических частот, величину nорядка (tJ-k-+- 1-'-д2. Применим nолученные результаты к случаю, когда про дольная сила изменяется по кусочио-постоянному закону (§ 3). Сместив начальный момент времени на Т/4, пред ставим выражение для продольной силы в виде тригоно метрического ряда

00

1 7icosk1Jt,

P(t)=Po+ 4Pt 7t

который сходится равномерно повсюду, за исRлючением точек изменения величины продольной силы. Легко получим: 4 1-'-k = rtk !-'-·

где

Формула (1.41) для этого случая дает:

(:1 (k = 1, 3, 5, ... ). (1.42) Сравнивая полученную формулу при k = 1 с формулой ( 1.34), приходим к заключению, что в случае «прямоуголь• ного)) закона изменения продольной силы главная область неустойчивости оказывается примерно в 4/тс раза шире, чем в случае, который описывается уравнением Матье. Гармоническую Rродольную силу иногда заменяют силой, меняющейся по кусочио-постоянному закону, опре деляя ее амплитуду из тех или иных априорных соображе J'!Ий. Подобная замена может быть оправдана, пока речь идет о главной области неустойчивости. Что касается по бочных областей, то здесь переход к кусочио-постоян ному закону изменения продольной силы может привести 2n~r 1 -+-4 *=тv -тсk~-'-

1) Сб. «Исследование колебаний конструкций). ДНТВУ, 1935.