Динамическая устойчивость упругих систем

388

О';НОВЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

(ГЛ. XVI

Решение с периодом 47tjfJ ищем в виде

00 /(t) = ~ ( ak (t) sin k~t + bk (t) cos k~t). k=1,3.5 Учитывая (16.86), получим приближенное значение для f'

00 f ' ~ ~ kO (а со kOt ~ 2 k ·-

Ь . kOt) sт- ksшт .

k=1,3,5 Для второй производной f' возьмем выражение

00 /'' ~- ~ k~1(ak +~ ь~)sin k~t +(ьk- k4 0 a~)cosk:t]. k=1,3,5 При подстановке в нелинейные члены, содержащие малый параметр, это выражение может быть упрощено

00

. kOt

k6t)

,.., k202 ( ~ 4

f "-., .....,-

aksш 2 +ьkcos 2 .

k=1,3,5 Подставим эти ряды в уравнение ( 16. 72). После сравнения . k6t k6t коэффициентов при одинаковых sш 2 и cos 2 получим: -6СЬ~+(Е-аА+; ~В-~ о~с)а 1 - - 6КЬ 1 - ; ~Ва 3 + t1 1 = О, 6Са~ +(Е-аА+ ~ ?В-}0 2 С)Ь 1 + 1 + fJKat- 2 ~ВЬ 3 + t'.C/ 1 =О, - kfJCb~ +(в- аА- ~ k" 1 6 2 C) а~- k'JKbk 1 -2 ~B(ak-2+-ak+2)+f1k=0, k6Ca~ + (Е- а А-} k 2 1J 2 C) bk + kOKak- -; ~B(bk- 2 +bk+ 2 )+wk =О (k =3, 5, ...).