Динамическая устойчивость упругих систем

§ 55) СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

297

Здесь .xk (x1k, x~k· ... , Хтk)-вектор k-го решения, т. е. k-A столбец матрицы Х (t). • Из формулы (14.11) следует, что решения системы (14.6) могут быть представлены .в виде !.ln р .xk(t)=eт kXk(t), (14.12) г де Xk (t)- периодический вектор с периодом Т. В самом деле, ( .!_ + 1) ln р 1 .!_ ID р .Xk (t+ Т)= е Т ТcXk(t+ Т)= en РТсеТ kXk(t)=pk.xk(t). Иначе (14.13) г де !i'k (t)- некоторыЯ, вообще говоря, почти периодический вектор !l'k(t)=Xk(t)exp( ~ argpk)· 3. Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни, то вид решения зависит от струк туры элементарных делителеЯ матрицы R- рЕ. В случае, когда элементарные делители-простые (§ 38) P-Pt• р-р~, · · ·• Р-Рт• матрица R может быть приведена к диагональному виду. Фундаментальная система решениЯ имеет в этом случае вид (14.12). Если же матрица R-pE имеет нелинеЯные элементарные делители (р- Pt)P.', (р- Р~)Р.", · · ·, (р- Pk)P.k (: 1 t + 1'-2 + ··· + !1-k=m), где по краЯней мере одно 1-'i > 1, то матрица R к диаго нальному виду приведена быть не может. Она может быть приведена, однако, к нормаЛ"Ьной жордановой форме f R 1 ~ =. . . . . . . . . . . . . . . ~ .............. R= i R'A l : .............. ~