Динамическая устойчивость упругих систем

(гл. xt

234

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ

Итак, решение уравнения (11.3) дается формупоя (11.7), nричем коэффициенты ck оnределяются из системы алге браических уравнениЯ (11.8). Оnределитель этоА системы имеет. вид

1 -).ан

-

l.a12

-i.a1,1 -- l.a:!n

D (i.) =

- Ла 21

1- i.a 22

Если оnределитель D (Л) отличен от нуля, то система (11.8) имеет единственное оnределенное решение. В то же время однородная система n с,-Л~ a,kck =О (l = 1, 2, 3, ... , n) k=1 ( 11. 9) имеет только нулевое решение {с 1 = с 2 = ... = С 11 = 0). Пусть теnерь D (Л)= О. В этом случае неоднородная система (11.8) допускает иенулевые решения. Уравнение D (Л)= О имеет, очевидно, n корнеА Л 1 , ·л 2 , ••• , Лn. Сле довательно, однородная система разрешима лишь при n зна чениях nараметра ). . Возвратимся к интегральным уравнениям (11.3)· и (11.4). Если Л =1= Лk• то неоднородное уравнение имеет единствен ное решение, а соответствующее однородное уравнение допускает только нулевое решение rp (х) ==О. Если же Л= Лk (k = 1, 2, ... , n), то неоднородное уравнение (11.3) за исклю чением случаев, зависящих от вида f(x), неразрешимо; соот ветствующее однородное уравнение допускает неиулевые решения. 2. Эти результаты распространяются на общиА случая nроизвольного ядра и формулируются в виде следующих теорем Фредzоль.ма. Неоднородное интегральное уравнение ь !?(х)-Л J К(х, ;)!?(e)d;=f(x) а имеет единственное конечное решение при всех Л =1= Лk; при