Динамическая устойчивость упругих систем

174

О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ~КОЛЕБАНИЙ

[гл. vш

Решение для случая f =а cos fJt/2 отличается от (8.23) только знаком перед ~· Как и ранее, введем две функции: Ф± (n2, tL) = (1- ~n~~ (1- па)± f.l. • (8.24) пэ - 4 -х.QЭ (3- 2~n2) Нули этих функций совпадают, очевидно, с границами обла стей динамической неустойчивости (8.13). В порядке возра стания обозначим их через п~. n~, n~, п:. Полюс-корень уравнения n2- - 1- (3- 2Зп2) =О 4-x.Q3 1 будет n 2 = ~ _1_ ------:::- оо 4 -x.Q2 1~ , 1 + 2-x.Q2 или при ~~О п;, = 3"(/4xQ 2 • Как и ранее (§ 21), это соот ветствует дополнительному «резонансу» при частоте !Joo=vз{ Л:. L В зависимости от расположения полюса п;, относительно нулей функции (8.24), другими словами, в зависимости от расположения дополнительного резонанса относительно областей неустойчивости, будем различать пять случаев. Эти случаи изображены на фиг. 67, где функция Ф+ пока зана жирной линией, функция Ф _-тонкой. Примерный вид резонансных кривых для тех же пяти случаев пред ставлен на фиг. 68. Вследствие нелинейности затухания амплитуды при noo будут ограничены. Неустойчивые ветви показаны пунктиром. Рассмотрим структуру левого резо нанса (6 ~ 2Q). Первый случай (noo < n 1) соответствует тому, что ранее называлось случаем преобладающей нелинейной инерционности. Во втором случае (n 1 < noo < n 11 ) нелинейная упругость и инерционность как бы компенсируют друг друга: резонансная кривая имеет характер, типичный для нелинейного затухания. В остальных случаях (noo > n 2) доминирует нелинейная упругость. Впрочем, два последних случая мало реальны, так как соотношение noo > n 6 может