Архитектурная бионика

Глава /У. Гармония формообразования в архитектуре и в живой природе 99

Рис. 71. Отрезок прямой, раз ­ деленной золотым сечением Рис. 72. Схема деления отрез ­ ка прямой в среднем и край ­ нем отношениях Рис. 73. Четыре примера чле ­ нения отразка АТ) на три час ­ ти величиной вурфа И^=1,31 (по С.В. Петухову, 1981 г.) Рис. 74. Схема построения правильного пятиугольника по Евклиду с использованием золотого сечан ия ( вверху) и по Птолемею (внизу) Рис. 75. Примеры золотого сечения в геометрии: двойной квадрат, вписанный в окруж ­ ность, и взаимопересекающи- еся диагонали правильного пятиугольника

му, применявшего золотое сечение в своих произведе ­ ниях (Ф= 1,618...). Несмотря на отсутствие сведений, есть основания полагать, что пропорция золотого сечения была извест ­ на с незапамятных времен, задолго до того, как поя ­ вился сам термин "золотое сечение". Согласно [27], некоторые археологи, основываясь на изучении находок палеолитических стоянок человека, предполагают, что золотое сечение практически использовалось 20 — 25 тыс. лет назад. О правомерности таких предположений свидетельствуют, в частности, результаты геометричес ­ кого анализа (Ю.С. Лебедев, В.Ф. Жданов) наскальных гравюр (рис. 70) безымянных художников каменного и бронзового веков [25,27,41]. Геометрические особенности пропорции золотого се ­ чения, удивительные математические свойства число ­ вых множеств, функционально связанных с числом 1,61В, не раз восхищали древних геометров, художни ков, скульпторов. Как уже говорилось выше (см. гла­ ву о моделировании), наглядной геометрической ин ­ терпретацией пропорции золотого сечения является деление отрезка прямой на две неравные части так, чтобы большая часть была средним пропорциональным между отрезком и его меньшей частью (рис. 71,72). Если обозначить большую часть отрезка через а (рис. 71), меньшую через 6 (целое будет а + б), то имеем: а -^<6 _ а или а 6 1+ i = - • (1) а Ь Обозначив отношение — через Ф, получим уравнение или ф2 — ф — 1=0; положительный корень этого урав ­ нения дает искомое отношение: Ф= =1,618. Золотое сечение — деление отрезка на неравные части, сохраняющее между частями то же отношение, что меж ­ ду целым и его частями (рис. 73, 81). Впервые сведения о золотом сечении встречаются в "Началах'" Евклида (III в. до н. э.) . Во второй книге он дает геометрическое построение, равносильное ре ­

шению квадратного уравнения (2), и затем использу ­ ет его при построении правильных пяти- и десятиуголь ­ ников, а также двенадцати- и двадцатигранников (рис. 74) . Кстати говоря, пропорция золотого сечения реализуется в разных формах: в биквадрате, в пента ­ грамме, в пятиконечной звезде, которая почиталась у пифагорейцев как символ здоровья и др. (рис. 75, ВЗ, 86). После Евклида исследованием пропорции золотого сечения занимались Гипсикл (II в. до н. э.), Папп Алек ­ сандрийский (III в. н. э.) и др. В средневековой Европе с пропорцией золотого се ­ чения познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик и комментатор Евклида Дж. Ком- пано из Новары (XIII в.) добавил к тринадцатой главе "Начал" предложение, содержащее арифметическое доказательство несоизмеримости отрезка и обеих частей золотого сечения. Если более или менее придерживаться событий, связанных с проблемой золотого сечения, в их хроно ­ логическом порядке, то нельзя обойти молчанием сочинение "Liber abacci" ("Книга об абаке"!), напи­ санное в 1202 г. знаменитым итальянским математи ­ ком Леонардо из Пизы (около 1170 — 1250), который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи (т.е. сын доброй природы) . Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени. Она сыграла заметную роль в развитии математики в Западной Ев ­ ропе в течение последующих столетий; именно благо ­ даря этой книге европейцы познакомились с индус ­ скими ("арабскими") цифрами. Одна из задач в дошед ­ шем до нас втором варианте книги (1228) привела к открытию математического ряда чисел со свойствами золотого сечения. В честь автора этой задачи ряд этих чисел был назван рядом Фибоначчи. Знаменитая задача формулируется следующим обра ­ зом: "Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огоро ­ женном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кро ­ ликов родится при этом в течениа года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождеют кролики со второго месяца после сво ­ его рождения. Так как первая пара в первом месяце дает потом ­ ство, удвой, и в этом месяца окажутся 2 пары; из них одна па-

1 Абак — счетная доска.