Архитектурная бионика

228

Архитектурная бионика . структуры упругой шарнирно-стержневой системы ис ­ пользовались в качестве ограничений и неравенства, отражающие ее двойственный характер как задачи мате ­ матического программирования [391 Формализованная таким образом задача содержит дополнительную инфор ­ мацию (условие эквивалентности потенциальной энер ­ гии деформации работе внешних сил) , которая позволя ­ ет получить устойчивое решение. Запишем математическую модель задачи синтеза структуры стержневого аналога. Найти min [ (С 1 ” 5 ’ S -масса (10) "Г 5 руТ™™' * ') -г 0,5 ( IV Условие эквивалеНт- v ’ ’ ’ ' ’ ности потенциальной энергии деформаций работе внешних сил; AS M - AS ( ~ ’ = F — условие равновесия: A tv'.yA — условие совместности деформаций -A T F * ’ S (11) (12) (13) искомые « -мерные векторы усилий соответ ­ С f+ [ С'~ ’ — заданные tt -мерные векторы коэффициентов массы соответственно для растянутых и сжатых стержней; -мерные векто ­ ры продольных допускаемых деформаций соответственно при растяжении и сжетии; F - (п -m) -мерный вектор внешних сил, эквивалентный внешним нагрузкам и усилиям, приходя ­ щимся на конечный элемент; N — искомый ( я ~т ) -мерный вектор перемещения узлов стержневого аналога; А — заданная (п. — m ) п -мерная матрице условий статического равнове ­ сия стержневого аналога; Л< * \ — заданные (п ~т) -мер ­ ные векторы допустимых значений перемещений узлов стерж ­ невого аналога. Задачи (10) — (15) представляют собой задачу линей ­ ного программирования, которая в принципе может быть решена точными методами. К сожалению, основ ­ ные трудности, с которыми приходится сталкиваться при решении задачи синтеза структуры стержневого ана ­ лога этими методами, вызваны слабой заполненностью, обусловленностью и особенно обращением слабо запол ­ ненных матриц. Все это ограничивает возможности ре ­ шения задач большой размерности. Поэтому, чтобы ис ­ ключить вышеуказанные причины, условная задача син ­ теза оптимальной структуры пластинчатых элементов (10) — (15) по методике, изложенной в работе [40] , мо ­ жет быть сведена к эквивалентной безусловной экстре- мальной задаче следующего вида: (С,Х) +> II (ИХ-Ь )+ II 2 - * min и решается методом сопряженных градиентов. Здесь (16) С=(С (+ , У С ‘ ' ’ О),Х- S N S ,+> . 0,5V/ w 05W^-0,5F >. о А т -А г А 0 0 0 \1- О о 0 о Знак "+" означает, что (PX-L)>0.. При коэффициенте штрафа решение задачи (16) стремится к реше ­ нию задачи (10) — (15). После синтеза оптимальной структуры проводите? анализ, корректируются модуль упругости и коэффи ­ циент Пуассона пластинчатых элементов. В целях проверки напряженно-деформированного состояния пластинчатая система с уточненными жест- костными характеристиками элементов вновь просчиты ­ вается МКЭ. На рис.82 представлены результаты синтеза оптималь ­ ной структуры наиболее напряженного элемента плас ­ тинчатой системы, рассмотренной в работе [41 ] . Оп ­ тимизация осуществлялась методом безусловной мини- ственно в растянутых и сжатых стержнях; О -1 0 -А 0 О о о 0 -1 о о й'~ ’ ■ — условия жесткости; (14) S' * ’ * 0 1 -s'^oj — условия неотрицательности. (15) Здесь S'

Рис. В1. Разбивка конструк- Рис. 82. Синтаз оптимальных тивной системы на конечные структур элементов конст- элементы и аппроксимация руктивной системы их стержневыми аналогами мизации в сочетании с методом .сопряженных градиен ­ тов на ЭВМ по программе ПРОСС-1. Шарнирно-стержне­ вой аналог имел постоянную высоту, но менялась густо ­ та разбивки решетки. Из поперечных разрезов видно.