Справочник архитектора. Том I. Первый полутом

Способ Ньютона

39

19. Способ Ньютона Положим, что каким-либо способом (напр. графически) най дено приближенное значение х х корня уравнения / (л:) = 0. Тогда следующие приближения найдутся по формулам: fixО _ f(xi) х 3 . . . , сходящуюся (во многих случаях) к искомому корню. Получив два элемента последовательности, достаточно близкие друг к другу, считаем любой из них приближенным значением корня . Процесс наверно сходится, если кривая обращена выпуклостью к оси X, т . е. если f (х) и f i x ) имеют одинаковые знаки (лист 3, рис. 1). f i x ) Пользуясь формулой х п , 1 — х п — f f . > можно каждый раз J (Лп' округлять найденные числа, так как можно исходить из любого числа, близкого к искомому. Пример : Л: 8 — х 2 — 2х -(-1=0. Сначала отделяем корни путем попыток, подставляя в левую часть числа —2 , — 1, 0, 1, 2 . . . и определяя знаки функции X - 2 » 1 2 + Видим, что корми уравнения находятся между —2 и —1 ; 0 и 1;1 и 2. Найдем корень, который находится между 1 и 2 : /' (х) = Зл: 2 — 2л: — 2 ; Г (х) = блг — 2; Г О ) > 0 ; f ( 2 ) > 0 . Так как / ( 1 ) < 0 и / ( 2 ) > 0 , то в качестве первого приближения выбираем х 1 — 2, при котором f ( х ) и f (лт) имеют одинаковые знаки: х 2 — 2— = 2— ^ ä j 1,83. Для нахождения х 3 округляем х 2 , взяв его равным 1 , 80 ; Л з — ^ 0 / ' ( 1 , 8 ) 4,12 —' ' Если бы оставить лд = 1,83, то получили бы для снова 1,80. Таким образом, получаем последовательность чисел x L , З н а к f { x ) — + + . —