Основные элементарные расчеты в гражданских сооружениях

! ІЬЪ ' T T " Z I LH

Проф. В. Д. МАЧИНСКИЙ ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ Р А С Ч Е Т Ы В ГРАЖДАНСКИХ СООРУЖЕНИЯХ

/ f

Проф. В. Д. Мачинский

ОСНОВНЫЕ Э Л Е М Е Н Т А Р Н Ы Е РАСЧЕТЫ в гражданских сооружениях

$1 2 І $ \ і ч ?

I

{ « /и*' Ѵ \<5\\ и / j II V? I і Ѵ ш Щ М V CC.C.P /

И З Д А Т Е Л Ь С Т В О Народного Комиссариата Внутренних Дел РСФСР . Москва—1928

«МОСПОЛИГРАФ» 14-я Типография Варгунилина гора, Р. Москва, 1927 года. Главлит 93330. Тираж 3.000.

П Р Е Д И С Л О В И Е . Среди младшего персонала наших строителей имеется много лиц, практически опытных и способных, но не получивших своевре- менно необходимого технического образования. Не имея возможно- сти возвращаться к школьным занятиям, они часто очень нуждаются в таком пополнении своих знаний, которое дало бы им более само- стоятельности в работе, закрепило бы некоторой теорией то, что они часто уже знают или «чувствуют» практически. Словом, они нуждаются в самообразовании, в дальнейшем техническом продвиже- нии. Их именно и имеет в виду настоящее издание, излагающее в самой популярной форме одну из важнейших частей строитель- ной техники. Задача последней состоит в том, чтобы строить прочно, дешево и красиво. Особенно важны первые два требования, которые притом должны быть неизменно связаны между собой. Строить прочно, но несоответственно дорого может и рядовой обыватель: на основании простого глазомера и житейского опыта он построит прочно хоть железнодорожный мост, вложив в него, например, двад- цатикратное количество материалов и средств сравнительно с дей- ствительно необходимыми. Он же может построить и дешево, но непрочно—и делает это в практике довольно часто (например, в крестьянском строительстве). Но никто, кроме специалиста, не смо- жет выгоднейшим образом сочетать требования прочности и деше- визны, потому что для этого необходимо знание технических рас- четов. С помощью их строитель предвидит будущие силы и напряже- ния в своем сооружении и определяет минимальные размеры его частей, необходимые в интересах безопасности. Поэтому технический расчет есть главный нерв техники. Обла- дание им, пожалуй, составляет единственное существенное отличие и преимущество техника и инженера перед обывателем или практи- ком-самоучкой. Но эта область знаний, можно сказать, необозрима, ей нет конца. Для ознакомления с ней нужно из нее сделать выбор—конечно, того, что всего нужнее для практики, в данном случае—для практики строительной. Но и этот материал еще слишком велик, и его невоз- можно изложить в таком небольшом руководстве, как настоящее. Разные виды строительства из различных материалов требуют своих особых приемов расчета с массой своеобразных и необходимых де- талей; и собрание всего этого в одно целое дало бы книгу не толь-

ко слишком большую, но и трудную, утомительную для системати- ческого чтения лиц, мало подготовленных к этому. Поэтому нами избран другой путь изложения. Из всех необхо- димых в практике способов расчета мы выделили здесь пока только наиболее общие понятия и приемы, повторяющиеся в разных обла- стях строительства и при разных материалах. Все же расчеты спе- циального характера, связанные с особенностями отдельных мате- риалов или конструкций, излагаются в соответствующих специаль- ных руководствах. Но эти специальные приемы расчетов исходят из общих и основных расчетов настоящего издания, предполагают их известными читателю; вот почему они и выбраны предметом этого популярного издания. После их усвоения читателю будет нетрудно следить затем за дальнейшими областями строительства с их осо- быми расчетами. В силу этих соображений в настоящее издание включен только следующий материал: 1. Те извлечения из теоретической механики, которые совер- шенно необходимы для самых даже основных и элементарных рас- четов; это—общее учение о силах и законах их равновесия. 2. Элементарные основы сопротивления материалов и расчета балок. 3. Элементы графической статики и ее приложений к расчету балок и ферм. 4. Некоторые элементы статики сооружений: устойчивость вы- соких сооружений, подпорные стенки и пр. Предлагаемый выпуск ни в каком случае не является школь- ным учебником—даже для средних технических школ. Для этого он недостаточно систематичен и полон, в нем намеренно избегались все более отвлеченные части теории и обобщения, необходимые при школьном изложении. Это—просто извлечения из школьного мате- риала, наиболее важные для практики и изложенные в практическом же конкретном освещении, однако с соблюдением необходимой после- довательности и доказательности. Такой именно подход к делу казался нам необходимым, чтобы .сделать из этой темы материал для технического чтения, а не учения. В. Мачинский.

Часть I. Элементы теоретической механики.

Глава 1. Действие сил но материальную точку. Общие понятия. Части сооружения подвергаются действию раз- ных сил. Направление силы, ее величина и точка приложения весьма наглядно и точно обозначаются отрезком прямой со стрелкой. Так, отрезок AB (рис. 1), при сопоставлении с каким-либо другим по- подобным же отрезком,достаточно характеризует некоторую задан- ную силу в отличие от другой. Силы, как и другие величины, могут считаться положительными или отрицательными и обозначаться знаком - ) - или —; в данном случае эта противоположность зависит от направления сил в ту или обратную сторону. Поэтому, если мы считаем силу одного направле- ния положительной, то силу обратного направления должны считать отрицательной. Две такие силы, если они приложены к одной и той же точке, взаимно уничтожаются, и точка не будет испытывать

действия сил, т.-е. останется в по- кое. Это есть простейший случай равновесия сил, приложенных к одной точке. Пусть в плоскости силы AB (рис. 1) дана прямая или ось CD. Опустим 'из концов отрезка AB перпендикуляры АЕ и BF на эту ось. Из геометрии известно, что в таком случае отрезок Е Е на- зывается проекцией отрезка AB на данную ось. В применении

- 0

Рис. 1.

к силам мы будем называть ЕЕ проекцией силы AB на ось CD. Про- екция имеет то направление и тот знак, которые соответствуют направлению и знаку проектируемой силы; в данном случае это вы- ражено стрелкой у отрезка EF. Очевидно, если сила AB равна нулю, то и ее проекции на вся- кие оси равны нулю. Но можно поставить вопрос и обратно: по проекциям силы можно убеждаться в том, что она равна нулю. Очевидно, для этого недостаточно одной оси: в случае, когда данная сила перпендикулярна к ней, проекция силы на ось равна нулю, тогда как сама сила не равна нулю: Но и в этом крайнем случае до- статочно взять для проекции еще вторую ось, перпендикулярную к первой, и тогда по двум проекциям на эти оси можем судить

о силе: если обе эти проекции равны нулю, то и сама сила равна нулю. Сложение сил. Сложить силы, приложенные к одной точке О (рис. 2), значит определить их совместное действие, т.-е. определить ту новую силу, которая производит на точку такое же действие, как все данные силы совместно—иначе говоря, найти их «равнодействующую». Если данные силы, называемые в этом случае «составляющими», лежат в одной и той же прямой (рис. 2), + с

имея одинаковые или разные знаки в зависимости от своего направления, то их сложение или нахождение равнодействую- щей сводится к алгебраическому сложению их величин; причем

Рис. 2.

безразлично, сделаем ли мы это путем аналитическим (вычислением) или графическим. Так, при заданных величинах ОЛ = - | - а единиц, OB— — b и ОС = —с, имеем равнодействующую: при аналитическом исчислении , . X = а —Ь-\-с, а при графическом находим ее путем такого построения, что от заданной точки О откладываем в одну сторону в известном масштабе а, затем от конца этого отложения идем в обратную сторону на величину b, а от конца этого отложения опять в прежнюю сторону на величину с; та точка, в которой мы окажемся в результате, даст нам по своему расстоянию от О и направлению от него в ту или другую сторону величину и знак суммы данных сил (см. об этом ч. III гл. I, рис. 71). Если две силы, приложенные в одной точке, не лежат в одной прямой, следовательно, их направления образуют между собой неко- торый угол а (рис. 3), неравный 0 ° или 180°, то их равнодействую- щая определяется следующим образом: а) графически она выражается диагональю параллелограмма, построенного на двух данных силах (см. рис. 3); -лС

Рис. 3. Рис. 4. б) аналитически она, очевидно, определяется путем простого тригонометрического вычисления, не имеющего в данном случае ин- тереса для нас.

Если составляющих сил более, чем две, то сложение их может быть произведено—графически или аналитически—путем последова- тельного сложения: сначала двух сил, затем их равнодействующей и третьей и т. д. Ниже мы увидим более удобные способы подоб- ного сложения. Составляющие силы и их равнодействующая имеют замечатель- ную зависимость между собой. Теорема. Проекция равнодействующей на данную ось всегда равна алгебраической сумме проекций составляющих сил. Действительно, пусть даны две силы ОА = OB = Р 2 и их равнодействующая ОС = Р (рис. 4). Проведя произвольную ось ОМ и взяв проекции на нее всех указанных сил, докажем, что Ос — Оа + Ob. Из чертежа видно, что Ос = Оа + ас. Но ас = Ас', а эта последняя прямая, в силу равенства прямоуг. ЛА ' ов АСс' и ОВЬ, равна Ob-, поэтому Ос—Оа-\- Ob. Легко доказать эту теорему и для тех случаев, когда составляю- щие силы расположены не по одну сторону от точки О, а по обеим. Равным образом нетрудно распространить эту теорему и на случай всякого числа составляющих сил, лежащих в одной плоскости (путем последовательного применения теоремы сначала к двум си- лам, затем к их равнодействующей и третьей и т . д.). Результатом этой теоремы является закон равновесия сил, при- ложенных к одной точке в одной плоскости. В самом деле, для того, чтобы эти силы уравновесились (т.-е чтобы точка осталась в покое), необходимо и достаточно, чтобы их равнодействующая равнялась О. Но для этого, в свою очередь, необходимо и доста- точно, чтобы проекции равнодействующей на какие-либо две взаим- но перпендикулярные оси были равны нулю. А так как каждая из этих последних проекций, согласно теореме, равна алгебраической сумме проекций всех составляющих сил, то имеем следующий закону для равновесия сил, приложенных к материальной точке в одной плоскости, необходимо, чтобы алгебраические суммы проекций всех этих сил на какие-либо две взаимно перпендикулярные оси равня- лись, каждая порознь, нулю. Глава 2. Действие сил на тело. Под телом в механике разумеется неизменяемая система мате- риальных точек. Когда силы действуют на материальную точку, они могут со- общить ей только поступательное движение. При действии же их на тело, они могут сообщить ему не только поступательное движение (перемену места всей массой тела), но и вращательное («на месте», т.-е. с переменой места только некоторыми частями тела при непо- движности других точек). Это создает существенно иные условия для равновесия тела под действием сил, чем выведенные выше для материальной точки.

Примером может служить случай действия двух равных и про- тивоположных сил на точку и на тело. При действии на точку силы взаимно уничтожаются, и в ре- зультате получается покой точки. При действии на тело в разных его точках (рис. 5) силы не уравновешиваются и производят враще- ние тела. Такие две силы называются в механике «парой сил». Таким образом возникает необходимость учета вращательного действия сил на тело. Взяв какую-либо силу на теле, например, силу Р — AB на рис. 5, мы сможем учесть ее вращательное дей- ствие на тело только в том случае, если задан пункт или ось вра- щения—напр., О. Тогда, как известно из теории рычага, вращатель- ное действие силы пропорционально ее величине и затем «плечу» относительно данной точки, т.-е. перпендикуляру, опущенному из этой точки на направление силы {ОМ = h )—следовательно, пропор- ционально' произведению этих двух величин Р. h. Эта величина, из- меряющая вращательное влияние силы, называется моментом ее относительно точки О.

Момент силы, как и всякая величина, может быть положитель- ным и отрицательным и обозначаться знаком - ) - или - ; это зави- сит от того кругового направления, в котором данная сила стре- мится вращать тело около данной точки. Так, если мы решим счи- тать положительными моменты при вращении в сторону часовой стрелки, то моменты обратного вращения должны считать отрица- тельными. Ясно, что два равных и противоположных момента отно- сительно одной и той же точки взаимно уничтожаются и не дают в результате никакого вращения тела. Равным образом моменты сил относительно одной и той же точки, но разные по величине и знаку (направлению), можно приводить к одному путем обычного алгебраического сложения (совместного учета положительных и от- рицательных величин). Замечательный пример величины момента дает нам каждая «пара сил» (рис. 5). Сумма моментов обеих таких сил относи- тельно всякой тонки их плоскости одна и та же и равна PN, где Р есть величина каждой силы, а Я—есть перпендикулярное расстоя- ние между их параллельными направлениями. В этом легко убедиться

непосредственно, беря разные точки (или центры) для моментов. Это показывает, что вращательное действие на тело каждой данной пары сил есть величина вполне определенная, независимая от выбора центра моментов. Моменты сил имеют следующее замечательное свойство: Теорема. Момент равнодействующей нескольких сил относи- тельно какой-либо точки тела всегда равен алгебраической сумме моментов всех составляющих сил относительно той же точки. Докажем эту теорему для случая, когда все силы лежат в одной плоскости. Пусть к точке А (рис. 6) приложены силы: AB — Р х и AD = Р х , их равнодействующая, построенная по правилу паралле- лограмма, пусть будет АС = R. Возьмем далее произвольную точку О и докажем, что момент силы R относительно ее равен алгебраи- ческой сумме моментов сил Р г и P t относительно той же точки. Если опустим из О перпендикуляры на направления сил, а именно: Оа = рх (на силу AB = Pi), Ob —р г и Ос — г, то моменты сил будут Р г р ъ Р г Рх и Rr, и надо доказать, что R^r = P lPl + P iPv Соединим точки А, В и С с О, а перпендикуляр Ob продолжим, до точки d. Тогда получим ряд треугольников, площади которых будут находиться в следующем соотношении: Л ОАС = А ОАВ + Л ОВС — А ABC, или: 7 . г — 1 / 2 Р,Р Х -(- V, Р х {р 2 + bd) — 1 / x P r bd, откуда и получим: Rr = Р г р + Р 2 р г . Легко убедиться, что эта теорема справедлива при всяком рас- положении сил и точки О, а также при всяком числе составляю- щих сил. Теперь перейдем к учету совместного действия нескольких сил, приложенных к разным точкам тела, т.-е. перейдем к сложению их (в алгебраическом смысле) для вывода равнодействующей. Ограни- чимся исключительно случаем, когда все силы лежат в одной плоско- сти данного тела. Для сложения подобных сил (рис. 7) может быть использована следующая теорема (лемма): Две равные и противоположные силы, приложенные к разным точкам тела, но лежащие в одной прямой, взаимно уравновеши- ваются. Справедливость этого положения очевидна. Две такие силы, например, AB и CD на рис. 7, могут производить только одно дей- ствие на тело, а именно, растягивать его по прямой BD, т.-е. удалять материальные точки А и С одну от другой. Но так как по самому определению тела взаимные расстояния его точек неизменяемы, то две данных силы не могут произвести ни поступательного движения тела, ни вращения его и, следовательно, уравновешиваются. На основании приведенной леммы оказывается возможным пе- реносить точку приложения каждой силы в теле во всякую другую

точку в направлении той же прямой, по какой действует сила, при чем состояние (покоя или движения) тела от этого не изменяется. Так, точку приложения силы AB можем перенести в С или в другую

точку прямой BD или ее про- должения— без нарушения за- даний. В виду изложенного сло- жение всех сил, действующих на тело в одной его плоскости (рис. 7), может быть произве- дено следующим путем. Взяв какую-либо силу, например, EF, продолжим ее до пересечения с другой силой, например, А'В или с ее продолжением, до точ- ки М. В эту точку можем, со- гласно предыдущему, перенести обе силы EF и ДX, после чего сложим их по правилу парал- лелограмма в одну равнодей-

J

Рис. 7.

ствующую. Затем поступим так же с этой равнодействующей и сле- дующей из заданных сил—и так далее до тех пор, когда все заданные силы сложим в одну. Но этот способ становится, очевидно, неприменимым в тех случаях, когда слагаемые силы параллельны между собой, ибо тогда их направления не пересекаются. Выведем способ сложения сил в этом случае. Пусть P j и Я 2 суть две параллельные силы, приложенные

к одному и тому же телу и под- лежащие сложению (рис. 8). Соеди- ним их точки приложения А и ß прямой и в направлении этой пря- мой приложим в тех же точках две произвольные, равные и противо- положные силы 5 ; мы уже знаем, что не изменяем этим заданного положения вещей. Соединим силы 5 с соседними заданными силами в равнодействующие Р 1 и /? 2 . По- следние, как взаимно наклонные силы, продолжим до взаимного пересечения в О и сюда перенесем обе силы. Проведем через точку О прямую ОС, параллельную задан- ным силам, и разложим силы Р 1

и Р 2 каждую на две: одну равную и параллельную соответствующей силе S, и другую, лежащую на ОС; ясно, что полученные на этой последней прямой силы будут соответственно равны Р 1 и Р ѵ а две Рис. 8.

равные и противоположные силы 5 при точке О взаимно уничтожа- ются. В результате получаем, таким образом, что равнодействующая заданных двух параллельных сил равна их сумме Р г -\-Р 2 . Определим теперь закон расположения этой равнодействующей относительно заданных—в частности, положение прямой ОС или точки С относительно точек А и В. Для этого нужно, очевидно, определить взаимоотношение ве- личин АС и СВ. Первая найдется из А'а АОС и подобного ему FOE; из них имеем: /1С EF s S л /-> /л/-« ^ OC = Ö £ * 3 / y откуда AC = ОС. ^ Вторая величина СВ найдется подобным же образом из Д Д ' о в ВОС и DOH, откуда СВ HD S __ __ 5 о с = о н = 1 у о т к у д а C ß = о с / Г Искомое взаимоотношение^ получится таким образом СВ Отсюда видим, что интересующая нас точка С разделяет пря- мую AB на части, обратно пропорциональные данным силам. Опустив из С перпендикуляры на направления силы Р г и Р г , увидим, что и эти расстояния равнодействующей силы от составляющих находятся в та- ком же отношении между собою. Итак, равнодействующая двух данных параллельных сил равна их сумме, параллельна им и нахо- дится от них в расстояниях, обратно пропорциональных их вели- чинам. По этому правилу мы можем, очевидно, слагать последовательно какое угодно число параллельных сил, направленных в одну сторону. Легко убедиться в справедливости этого закона и в тех слу- чаях, когда заданные параллельные силы направлены не в одну сто- рону (как в нашем примере), а в противоположные. В этом случае равнодействующая, равная алгебраической сумме составляющих, сво- дится арифметически к их разности. Но есть один случай, когда две параллельные силы не могут быть сложены в одну. Это—когда заданы две равные, но обратно направленные силы, т.-е. «пара сил». В самом деле, приступив к опи- санным выше операциям, тотчас убедимся, что при всяком выборе вспомогательных сил 5 , их соединения с заданными силами будут всегда давать две равнодействующих {Р 1 и Р 2 ), параллельных между собою; поэтому дальнейшие операции по соединению оказываются невозможными и самое соединение невыполнимым. Таким образом «пара сил» не может быть сведена к одной равнодействующей. Это понятно и само собою. Как мы уже знаем, пара производит только вращательное действие и не может давать АС _ Р % СВ ~ Р 1

поступательного; а та единая равнодействующая, к которой мы пы- тались ее свести, способна была бы давать только поступательное действие. Полная разнородность этих функций и является причиной несводимости пары к одной силе. Но если мы имеем в одной плоскости тела несколько «пар сил», то всегда можем сложить их в одну пару. Это следует из того, что каждая такая пара, согласно вышеупомянутому, имеет один и тот же момент и с определенным знаком относительно всякой точки данной плоскости; не составляет поэтому труда сложить все эти величины алгебраически и получить равнодействующий момент, который и можно, при желании, изобразить' в виде некоторой новой пары сил (равно- действующей пары). Теперь перейдем к учету совместного действия всех сил на тело и к выводу закона их равновесия. Пусть на тело действуют в разцых точках (одной плоскости) силы различной величины и направления. Складывая их между собою вышеизложенными способами, мы придем, вообще говоря, к одному из следующих результатов: все силы сведутся или к одной равно- действующей, или—к одной «паре» равнодействующих, т.-е. к равнодей- ствующей паре сил. Равнодействующая сила будет выражать собою все влияние приложенных сил в смысле сообщения телу поступатель- ного движения в пространстве, а пара будет выражать все враща- тельные усилия в той же системе заданных сил относительно любой точки. Чтобы тело при всех этих условиях осталось в покое, т.-е. не получило ни поступательного движения, ни вращательного, необхо- димы, очевидно, два условия: 1) равнодействующая сила должна равняться нулю; это будет, как мы знаем, в том случае, если алгебраическая сумма проекций всех составляющих сил на каждую из двух взаимно перпендикуляр- ных осей равна нулю; 2) пара равнодействующая всех сил должна отсутствовать; иначе говоря, ее отдельные силы должны быть нулями или, еще иначе, вра- щающий момент такой равнодействующей пары относительно всякой точки должен равняться нулю; а для этого, как мы знаем, необхо- димо, чтобы алгебраическая сумма моментов всех составляющих сил относительно всякой точки равнялась нулю. Отсюда и выводим общий закон равновесия сил, приложенных к телу в одной его плоскости. Для этого равновесия необходимо и достаточно: 1) чтобы алгебраическая сумма проекций всех составляющих сил на каждую из двух взаимно перпендикулярных осей равнялась нулю и 2) чтобы алгебраическая сумма моментов всех данных сил отно- сительно всякой точки равнялась нулю. •Во всех случаях практики, когда имеем равновесие тела, имеет место и данный закон для приложенных к нему сил. Он имеет ве- личайшее значение для всех изложенных ниже расчетов в граждан- ских сооружениях, так как является основной их базой, исходной теоретической позицией.

Посмотрим теперь же, как мы можем использовать этот закон для решения некоторых очень важных вопросов расчетного характера. Прежде всего решим один теоретический вопрос, который при- годится нам в дальнейшем. Пусть дана тяжелая пластинка одинаковой толщины (рис. 9). Требуется найти аналитическую характеристику центра ее тяжести, т.-е. места приложения равнодействующей всех сил ее веса (точка О). Очевидно, эта точка обладает следующим свойством: так как момент равнодействующей F относительно ее ра- вен нулю, то и алгебраическая сумма моментов всех составляющих сил веса относительно этой точки тоже равна нулю. Назвав чрез р вес каждого однородного элемента этой площади и чрез у расстояние этой силы от точки О, имеем момент этой силы р. у; по одну сто- рону от проведенной на рисунке вертикальной черты эти моменты будут иметь один знак, а по другую противоположный. Но в алге- браической сумме они дают нуль, т.-е. 1р .у —0. Таким образом, аналитической характеристикой центра тяжести

данной площади является то, что алгебраическая сумма моментов веса всех элементов площади относительно этой точки дает нуль. В механике часто говорят еще о моліен- тах площадей относительно данной точки. Но совершенно ясно, что вся площадь по отноше- нию к своим отдельным частям или элементам имеет такое же самое значение, как равнодей- ствующая сила относительно своих составляю- щих сил. Поэтому безразлично, говорится ли о силах или о площадях, раз математическое существо взаимоотношений в обоих случаях

Рис. 9.

тожественно. Таким образом можем установить относительно мо- ментов площадей те-же законы, какие выведены выше для сил. Напри- мер: момент всей площади F относительно данной точки равен алге- браической сумме моментов ее частей или элементов / относительно той же точки 1 ) ; ит а к как расстоянием площади от точки считается расстояние центра ее тяжести от этой точки, то обозначая это расстояние чрез L, а разные расстояния элементов чрез у, можем написать: „ , F. L — Zf У- Точно также свойство самого центра тяжести известной фи- гуры можем определить так: это есть точка, относительно которой алгебраическая сумма моментов всех элементов /площади равна нулю, т.-е. Ъ/У-=0. Э Говорим об „алгебраической" сумме, так как расстояния элементов площади до точки могут быть положительными или отрицательными, смотря по направлению соответствующих моментов (вращений).

Наконец, заметим еще, что, вместо моментов площадей отно- сительно какой-либо точки, можем брать, по тем же законам, мо- менты их относительно какой-либо оси, лежащей в той же пло- скости; плечом такого момента будет, очевидно, перпендикуляр, опущенный из центра тяжести площади на ось моментов. Эти математические отношения хорошо используются между прочим для аналитического определения центра тяжести фигур. Так

как определение его для треугольника уже известно из элементарной геомет- рии, приведем здесь пример определения центра тяжести трапеции (рис. 10). Пусть дана трапеция ABCD с парал- лельными сторонами AD = a, BC — b и с высотой h. Прежде всего можем за- ранее сказать, что искомыи центр тяже- сти лежит где-либо на прямой EF, со- единяющей средины параллельных сто-

\

к

' " А5

\

N

Р Т X

Рис. 10.

рон (так как здесь расположены центры тяжести всех элементов площади ABCD, при разрезке ее на бесконечно-малые части парал- лельно основаниям). Остается определить только расстояние s Р — х центра тяжести от нижнего основания трапеции. Разобьем трапецию прямой АС на два треугольника и опреде- лим моменты их площадей относительно оси AD. Для этого нужно эти площади помножить на расстояние их центров тяжести от AD. У треугольника ABC центр тяжести К находится от AD на рас- h, а площадь этого треугольника равна - ï - bh\ поэтому bh2 момент ее = ——. Для треугольника ACD центр тяжести его J на- з

ходится от AD на расстоянии - j - h , aero площадь равна

- a h ] по-

этому момент площади = -~-ай г . Наконец, момент всей площади трапе-

ции относительно той же оси AD равен, очевидно,° h . х. Так как этот момент должен равняться сумме двух предыдущих, то имеем уравнение: —і — ,hx= —

в

a-\-2b h a-\-b ' 3 '

откуда

Теперь перейдем к приложениям более практического характера. / Пусть дана горизонтальная балка длиной /, лежащая на двух опорах (рис. 11) и выдерживающая на себе действие ряда сил P l t Р ѵ Р 3 разной величины, расположенных в одной плоскости (в сечении верти- кальной плоскостью вдоль оси балки). Если данная балка находится

в покое, то только потому, что снизу на нее действуют сопротивления опор («реакции»); отняв их, мы должны были бы для поддержания равновесия заменить их некоторыми силами N x и N 2 , которые и вы- ражают собой эти реакции. Определим величину каждой., из них. В данном случае мы имеем, очевидно, равновесие балки под дей- ствием сил Р х , Р 2 , Р 3 , N x и N 2 . Согласно изложенному выше закону, заключаем, что алгебраическая сумма моментов всех сил относи- тельно, например, точки А равна нулю; следовательно, обозначая расстояния сил Р Ѵ Р 2 и Р 3 от А соответственно чрез і ѵ 1 2 и /, , можем написать: -N 1 .0 + P 1 .l 1 + P 2 .l 2 + P 3 .l s -N 2 .l=0, откуда . h "Г" А К Ч~ ^з • h N. I В случае равномерной нагрузки на балку, что можем наглядно изобразить согласно рис. 12, реакции N x и N 2 определятся „таким же способом. То обстоятельство, что действующие силы не даны

ТГ,

тс,

Г

-An» g J j J l l 'HlHini i i ini l l l l l l l l

лг

U

r G Рис. 12.

іг, Рис. 11.

•Р,

нам здесь в виде отдельных сил, не составляет затруднения. Чтобы получить момент всех этих непрерывных и равных сил • отно- сительно точки А, мы можем, согласно теоремы о моментах,-взять момент равнодействующей всех этих равномерных сил относительно той же точки. Так как эта равнодействующая равна всему задан- ному грузу балки Q, а ее точка приложения находится в средине I балки, то момент нагрузки относительно точки А будет равен Q . - j - > а все уравнение равновесия будет: N 2 . I — Q . =О , откуда N 2 = Такую величину реакции мы могли предвидеть в данном случае и без вычислений. Вообще при вычислении момента равномерной нагрузки надо брать общую ее величину и умножать на расстояние от центра тяжести этих сил до центра моментов. Подобным же образом определим в обеих балках (рис. 11 и 12) реакцию N x (взяв момент всех сил относительно точки В и при- равняв его нулю). Последнюю, впрочем, можно определить и иным

путем. Пользуясь другим законом равновесия, можем утверждать, что в данном случае алгебраическая сумма проекций всех сил на вертикальную ось должна равняться нулю; но эти проекции пред- ставляют здесь натуральную величину самых сил; отсюда заключаем, что вторая реакция равна алгебраической сумме всех остальных сил, взятой с обратным знаком (или, говоря арифметически, равна сумме всех заданных сил без величины первой реакции). На примере той же балки (рис. 11), находящейся в равновесии под действием пяти сил (трех заданных и двух определенных нами реакций), легко убедиться, что для всякого ее сечения С момент всех сил, лежащих правее, равен (в своей алгебраической сумме) моменту всех сил, лежащих левее. Это легко проверить не только на любом числовом примере, но и можно видеть заранее: в против-

ном случае сечение балки С не находилось бы в покое, а перегну- лось бы в ту или другую сторону. Наконец, в пунктах опор на- шей балки наглядно видим ту ак- й сиому механики, что действие равно противодействию: практи- чески мы знаем, что балка давит на опоры, а здесь мы убедились, что и опоры с такой же силой давят на балку. Возьмем еще пример расче- та, основанного исключительно на выведенных выше законах (рис.13). Пусть балка СВ, заделанная одним

Рис. 13.

концом в стену, подвергается действию силы Р (например, от груза печи, располагаемой иногда на таких балках). Требуется определить давления этой балки на части кладки в местах введенных сюда железных прокладок (полос). Обозначив реакции в точках А и В в виде сил У Ѵ 2 и N v имеем равновесие трех сил Р, N v N 2 при данной балке. На этом основании для определения реакции N 2 берем моменты всех сил от- носительно точки В и приравниваем его нулю: + h) — N A + N i • О —О , откуда /V - Р • (/ ' + Ц 2 ' / 2 Реакцию определим подобным же образом, взяв моменты относительно точки А или же путем алгебраического сложения силы Р и Л^ с переменой знака этой суммы: — (Р - [ - N 2 ). Но в пределах теоретической механики подобные расчеты при- водят нас только к определению сил, а не размеров строительных частей, которые должны их выдерживать (например, опорных про- кладок в последнем примере). Такое доведение расчетов до конца, с полными практическими результатами, возможно лишь в области строительной механики.

Часть II. Сопротивление прямых брусьев. Глава 1. Общие понятия. В теоретической механике предполагалось, что тело есть неиз- меняемая система материальных точек, т.-е. абсолютно твердая масса. В действительности этого не бывает; под действием внешних сил масса тела изменяет свою форму или размеры (удлиняется, со- кращается, изгибается и т. д.). Эти изменения, часто очень незна- чительные на вид, называются деформациями тела. Часто деформации тела под действием внешних сил носят вре- менный характер—так, что по прекращении этого действия исчезают полностью (тело вполне восстанавливает свою форму и размеры); в таком случае деформации называются «временными» или «упру- гими». Наоборот, те деформации, которые остаются по прекращении нагрузки, называются «остающимися» или неупругими. Под действием внешних сил тело испытывает внутренние на- пряжения. Это означает, что между его частицами возникают вну- тренние силы сопротивления; величина и характер этих сил определяют собой величину и характер напряжения. Степень этого напряжения и, следовательно, величина внутренних сил на единицу площади внутреннего сечения тела должны быть ограничены -в технике известными пределами. Уже то напряжение и та величина внутренних сил (на единицу площади), при которых начинают полу- чаться в материале «остающиеся» деформации, являются почти всегда неприемлемыми для техники, так как влекут за собой без- возвратное изменение размеров, приданных сооружению. Такое на- пряжение называется пределом упругости. Характерной особенно- стью его является следующее обстоятельство. Пока внутренние напряжения и силы в теле, возникающие от действия внешних сил, не достигают предела упругости, простейшие деформации тела являются не только временными, но по своей величине строго про- порциональны напряжениям и внутренним силам. При напряжениях же выше предела упругости деформации, состоящие уже из времен- ной и постоянной частей, перестают быть пропорциональными на- пряжениям, но обычно растут быстрее их. Наконец, на известной стадии роста напряжений и внутренних сил или сопротивлений тела наступает его разрушение. Такое сопро- тивление материала называется временным , а действие сил -разру- шающим. Так, железный брусок разрывается при напряжении ок. 3500 килогр. на 1 кв. сант. (см а ), что и дает временное сопро-

тивление железа; но предел упругости этого материала достигается уже приблизительно при 1200—1300 килогр. на см 2 . Задачей технического расчета сооружений является придание их частям таких размеров и устройств, при которых напряжение материала не достигает предела упругости. Техника сама устанавли- вает те пределы напряжений для каждого материала, которых сле- дует держаться при расчетах в разных обстоятельствах; они называ- ются допускаемыми напряжениями материала в этих обстоятельствах, а его внутренние силы при этом напряжении или сопротивления называются прочными сопротивлениями. Так, для железа таким прочным сопротивлением считается в большинстве случаев строи- тельства 900—1000 килогр. на см 2 . Из всего вышеизложенного видно, что прочное сопротивление материала, принимаемое в технике, всегда значительно меньше его временного сопротивления; их сближению мешает наличие пре- дела упругости. Так, для железа прочное сопротивление меньше временного приблизительно в 4 раза ( у щ ) - Это отношение на- зывается «коэффициентом» безопасности или прочности. Выбор коэффициента безопасности в технике зависит, во-цер- вых, от рода материалов, особенно же от их однородности, т.-е. однообразия свойств во всех частях тела и, во-вторых, от их изме- няемости во времени (сравн., напр., железо и дерево). Затем он зависит от продолжительности действия сил, т.-е. от того, насколько долговременно сооружение; понятно, что чем более оно долговременно, тем больше должен быть коэффициент безопас- ности. Наконец, большое значение при выборе коэффициента имеет степень постоянства или изменчивости действия сил: чем менее спо- койна нагрузка сооружения, чем более ударов и сотрясений прихо- дится ему выдерживать, тем большим берут коэффициент. В приво- димой ниже таблице даны наиболее употребительные величины этого коэффициента (£) при действии постоянных сил, как это и бывает обычно в сооружениях.

При долговременных сооружениях.

При существовании ударов и сотрясений.

При временных сооружениях.

Материал.

до 10

4 - 5

4

Железо и сталь.

5

до 10

Чугун,

4

Деревянные сооружения. Каменные сооружения.

10

10

4

20

20

(не бывают).

При действии переменных сил (как это бывает в частях ма- шин, а в строительном деле—в ж.-д. мостах) коэффициент безопасности еще увеличивается. При нагрузке, способной колебаться от 0 до не- которой определенной величины в одну сторону (например, в смысле растяжения) и обратно до 0, коэффициент увеличивается в 1,5 раза сравнительно с его величиной при постоянной нагрузке; так бывает, например, при расчете цепей. Если же нагрузка изменяется от некоторой величины до 0 и затем еще в обратную сторону (например, из растяжения переходит в сжатие), то коэффициент увеличивается в 3 раза; например, при расчете осей, изгибаемых в разные стороны, шатунов паровой ма- шины и т. п. Виды напряжений. Выше мы говорили о действии внешних сил и о вызываемых ими внутренних силах в самом общем виде. Теперь рассмотрим более конкретно, какие именно бывают виды дей- ствия внешних сил на части сооружений, при чем эти последние мы возьмем в простейшем виде, в форме прямого бруса. Можно различать

5 главных видов действия внешних сил на тело: ра- стяжение, сжатие, срез, изгиб и кручение. Мы уви- дим ниже, что каждому из этих действий внеш- ней силы соответствуют особые виды внутренних сил в материале бруса— точнее говоря, особое расположение внутрен- них сил относительно дей-

h

„

1 я " и 1 ^ 1 '-У k А 1

~ ^

Рис. 14.

ствующих внешних. Но является вопрос: как вообще мы можем что-либо знать и судить о внутренних силах, когда они по существу невидимы? В этом нам помогает теоретическая механика со своими законами равновесия. Общий прием рассуждения, приводящий нас к некото- рому познанию внутренних сил, состоит в следующем. Пусть тело AB (рис. 14) подвергается вытяжению силой -\-Р, при чем удерживается на месте сопротивлением —Р , равным и про- тивоположным первому (например, в виде напряжения в заделке конца А). Под действием обеих сил тело находится в покое. Чтобы отдать себе отчет в характере внутренних сил, возникающих в нем при этом, представим себе плоскость MN, пересекающую тело пер- пендикулярно к его продольной оси. Она делит его на две части— А и В. Зададим себе вопрос: почему находится в покое часть В, взятая в пространстве отдельно, сама по себе, при действии на нее одной только внешней силы - j - P ? Почему В не движется в направле- нии этой силы, не отрывается от А?

Непосредственное чувство говорит нам: потому, что ее удержи- вает связь материальных частиц в разрезе плоскостью МП ; иначе говоря, сила- f -Я уравновешивается какими-то другими, внутренними силами, действующими в разрезе. Исходя из этого, нетрудно далее вывести ряд заключений о характере этих сил. В самом деле, можем наверное сказать, во-первых, что все эти силы имеют в сумме рав- нодействующую (приложенную в разрезе МП), равную и прямопротиво- положную силе -f-Я: в противном случае они не уравновешивались бы с силой Р, и часть В не находилась бы в покое. Затем с неменьшей досто- верностью можем предвидеть, что эти внутренние силы перпендику- лярны к поперечному сечению бруса и распределены в нем равно- мерно (в силу чего их равнодействующая и находится в центре се- чения, на оси бруса). Так, на основании законов равновесия, мы узнаем кое-что об этих невидимых внутренних силах. Пользуясь этим методом, рассмотрим перечисленные выше виды действия внешних сил на брус и сделаем некоторые выводы об осо- бенностях вызываемых ими внутренних сил. 1. Растяжение. Этот случай мы собственно уже рассмотрели только что под видом общего случая. Внешняя сила (или несколько их) стремится здесь растянуть или разорвать брус; но этому сопро- тивляются в каждом его поперечном сечении силы внутренние р,р (связь материальных частиц между собою). Последние направлены перпендикулярно к поперечному сечению (или параллельно с силой Р), распределены в нем равномерно и в сумме равны действующей силе. В строительных частях растяжение встречаем в чистом виде в затяжках стропил, в бабках, в подвесках, в некоторых подкосах ферм. 2. Сжатие. Представим себе в предыдущем примере обратное направление действующей силы -(-Я в отношении бруска и, следова- тельно, обратное же направление сопротивления (реакции). Тогда увидим, что случай этот, иной по существу, весьма аналогичен преды- дущему по форме. Внутренние силы будут сопротивляться сжатию, раздроблению тела и будут направлены в обратную сторону сравни- тельно с рассмотренным случаем и навстречу действующей силе. Но, как и раньше, они перпендикулярны к поперечному сечению, равномерно распределены в нем и в сумме равны действующей силе. Случай сжатия, таким образом, весьма подобен растяжению. В строи- тельных сооружениях он встречается весьма часто: сжатие испыты- вают фундаменты, стены, столбики под полами, стойки ферм и т. д. 3. Сдвиг. Представим себе (рис. 15) брусок AB прочно заделан- ным в стену; на выступающий конец его В действует сила Я, рас- положенная касательно к поверхности стены (в виде, например, давящего вниз бруса СД, подобно тому, как видим в заводских нож- ницах для металла). Сила Я сдвигает или срезает выступающий ко- нец данного бруска по плоскости МП. Или возьмем конец стропиль- ной затяжки за врубкой стропильной ноги (рис. 16) от „а" до „в": давление наклонной стропильной ноги, а именно, его горизонтальная составляющая, стремится сдвинуть или сколоть кусок затяжки а в с д

по плоскости а в. В обоих случаях имеем в сущности один и тот же род напряжения, лишь с разными практическими оттенками; в силу этого явление сдвига часто называют также срезом и скалыванием. В чем заключается особенность всех этих случаев сравнительно с предыдущими? м J \ ^ ч ™НЬ действующей силе Р, обратны и параллельны ей и, следовательно, лежат в плоскости сечения (среза) бруска, распределяясь в нем равномерно. Две последних особенности—а именно, расположение в самой плоскости сечения (касательно к ней) и равномерность распределения в ней— достаточно ясно отличают этот случай как от предыдущих, так и от последующих. В строительных частях сдвиг встречается довольно часто. Уже один из приведенных примеров относится к строительной области. •Упомянем еще о напряжении шпонок при составных балках, о соеди- нительных врубках бревен зубом, о поперечной нарубке стропильных ног на прогоны, о шипах («шкантах») в половом настиле и т. д. 4. Изгиб. Представим себе брус или балку AB на двух опорах (рис. 17) под действием силы Р. Деформация балки при этом выра- зится в ее изгибе (показанном на рисунке). Какие внутренние силы ч re Рис. 15. Рис. 16. Рассматривая подобные напряжения в состоянии покоя (равновесия), легко увидим, какого рода внутренние силы воз- никают при этом. Они в сумме равны

3L-

Рис. 17. возникают при этом в попереч- ных сечениях балки? Если возь- мем для наглядности балку из очень гибкого материала—напри-

мер, из мягкой резины,—то при сильном прогибе ее легко заметим по- явление поперечных плотных складок (морщин) на верхней ее поверхно-

сти (рис. 18) и, наоборот, разрежений (ноздреватости) на нижней. Это показывает, что в верхней части каждого поперечного сечения балки {CD) материал сжат, а в нижней растянут. Возьмем правую поло- вину балки СВ и поставим вопрос о причинах ее равновесия под действием только одной внешней силы, а именно, реакции В. Мы придем к заключению, что это равновесие возможно только при наличии внутренних сил в сечении CD, которые и уравновешиваются с внешней силой. Эти внутренние силы или взаимодействия матери- альных частиц бруса и не позволяют правой его половине отделиться от левой под действием внешней силы. И так как в верхней части сече- ния CD наш брусок сжат, то ясно, как действует здесь левая его часть на правую: она сопротивляется сжатию, следовательно, как бы от- талкивает правую часть, что и представлено на рисунке внутренними силами—р. Легко видеть подобным же образом, что в нижней части того же сечения внутренние силы направлены (по отношению к пра- вой части) обратно: они удерживают здесь материал от разрыва, как бы притягивают правую часть к левой. На рисунке эти силы представлены в виде р. Далее, практические наблюдения показы- вают, что излом, разрушение бруска при изгибе начинается всегда с его поверхностей (верхней или нижней: в первой в виде раздроб- ления, во второй в виде разрыва); но никогда оно не начинается с внутренних частей бруска. Кроме того, мы видим, что и внешняя деформация бывает большей на тех же двух поверхностях: здесь материальные волокна (например, дерева) более укорочены или уд- линены, чем средние. Из этого заключаем, что и внутренние силы являются наибольшими при тех же поверхностях и убывают к средине сечения балки. Такое распределение и представлено на нашем рисунке. Правильность его легко проверить в общих чертах, пользуясь законами равновесия теоретической механики. В самом деле, правая часть бруска находится в равновесии под действием только что рас- смотренных внутренних сил и внешней (реакции). В таком случае, как мы знаем, алгебраическая сумма моментов всех сил относительно точки, скажем, О должна равняться нулю. Момент реакции В отно- сительно О направлен обратно часовой стрелке. Что же касается до моментов внутренних сил, то легко видеть, что он у всех них, как- верхних, так и нижних, направлен по часовой стрелке. Ясно, что алгебраическая сумма первого момента и всех вторых действительно может составить нуль, как это требуется законом равновесия. Из сказанного видно, в чем заключается особенность внут- ренних сил при изгибе: они перпендикулярны к поперечному сечению, но распределены в нем неравномерно и в одной части сечения на- правлены обратно сравнительно с другой. Особый вид изгиба представляет собою продольный изгиб (рис. 19), в котором внешняя сила действует не поперек оси бруса (как в предыдущем случае), а вдоль ее. Однако, характер внутренних сил не изменяется по существу и в этом случае. 5. Кручение. Представим себе брусок AB (рис. 20), заделанный одним концом в стену. На другой конец его действует «пара сил»

Р,Р, которая скручивает его вокруг оси AB. Возьмем какое-нибудь поперечное сечение бруска, например, плоскостью MN и рассмотрим равновесие правой его части. Пара сил стремится повернуть правый кусок бруса вокруг его оси по часовой стрелке. Этому препятствует сопротивление материала в сечении MN, его внутренние силы. Очевидно, они действуют в об- ратном направлении, т.-е. обратно часовой стрелке (см. силы р на рис.); и гак как их роль состоит в сопротивлении скольжению (сдвигу) в сечении MN относительно левой части, то ясно, что внутренние силы лежат в самой плоскости этого сечения, касательны к ней. В этом отношении кручение близко к сдвигу. Но тотчас увидим и разницу. Во-первых, внутренние силы здесь не параллельны между собой. Затем при обыкновенном сдвиге все касательные силы в разных точках сечения равны между собою, т.-е. распределены равномерно;

здесь же нет этой равномерности. Наибольшие деформации бруска про- исходят на его поверх- ностях. Здесь частицы его материала наибо- лее отклоняются от своего первоначально- го положения; напри- мер, частица, бывшая до кручения в точке а, переходит после кру- чения в «в»; ближе к центру сечения эти перемещения все меньше, а в центре

^ ^

Рис. 20.

нет их совершенно. Равным образом на поверхности всякое продольное волокно материала, бывшее до кручения, напр., в а'а, превращается в удлиненное волокно а' в, тогда как внутренние волокна удлиняются (деформируются) меньше, а центральное, осевое волокно AB совсем не изменяется. Из этого видим, что касательные силы при кручении распределены в поперечном сечении неравномерно: чем далее от центральной оси, тем касатель- ные силы более. Этим кручение отличается от сдвига, но несколько напоминает изгиб. Итак окончательно: при кручении внутренние силы касательны к поперечному сечению, но распределены в нем неравномерно, воз- растая от центра к поверхностям бруса. Этим и отличается данный вид напряжения тела от всех других. Мы познакомились в самом кратком виде с главными видами напряжений тела от действия внешних сил. Всматриваясь в них по существу, мы увидели бы среди них только три основных: растяжение, сжатие и сдвиг—так как изгиб и кручение лишь комбинируют в себе одновременно те же напряжения. Но комбинации эти настолько своеобразны и потому расчеты их отличны от других, что практически

правильнее рассматривать все пять случаев самостоятельно. Мало того: в практике иногда встречаются еще случаи сложных напряжений, т.-е. совмещения в одном теле двух и более из этих пяти напря- жений одновременно. Так, если по стропильным затяжкам настилать потолок, то они будут испытывать одновременно и растяжение и изгиб; если подстропильный устой на чердаке, поддерживающий прогон под коньком, имеет с одной стороны подкос к тому же прогону, то он испытывает одновременно и сжатие и поперечный изгиб и т. д. Ясно, что и во всех таких случаях мы можем отдать себе отчет о характере возникающих в брусе внутренних сил. Рассматривая действие каждого рода в отдельности, мы определим вызываемые им внутренние силы, а затем так или иначе складываем их (или вычитаем) мысленно внутри тела и таким образом получаем те новые внутренние силы, которые соответствуют данному сложному напряжению. Теперь перейдем к более точному рассмотрение каждого из перечисленных основных случаев действия сил и к расчетам бруса на эти действия. Глава 2. Растяжение, сжатие, сдвиг. Растяжение. Уже приведенные выше теоретические рассуждения относительно растяжения показали, что внутренние силы, возникающие при нем в материале бруска (рис. 14), перпендикулярны к его по- перечному сечению, равномерно распределены в нем, параллельны и противоположны внешней силе, действующей вдоль оси бруска, и в сумме равны ей. Эти предположения вполне подтверждаются лабораторными опытами над сопротивлением различных материалов растяжению. Из этого следует весьма простой способ расчета брусков на растяжение. Пусть брусок с поперечным сечением F см 2 подвергается действию растягивающей силы Р кг (вдоль его оси). Обозначим чрез р кг величину внутренних сил, действующих на единице (1 см 2 ) площади его сечения ( напряженность материала); тогда внутренние силы на всем сечении составят p.F кг и мы имеем, согласно вышеуказанному: P=p.F. (I). Отсюда можем определить величину внутренней силы (напря- женности) р при заданных Р и F. Но приведенное уравнение имеет более широкое значение; оно является основным уравнением для всех случаев расчета прочности бруса на растяжение. Действительно, оно связывает в себе три ос- новных величины (фактора) при растяжении, величину внешней силы, величину внутреннего напряжения и площадь поперечного сечения бруса. Поэтому, когда две из них даны, третья может быть легко определена. Так, кроме упомянутого выше определения внутреннего напряжения р, можем из уравнения определять: