Гидротехнические сооружения. Том II

Г О С Т Р А Н С Н З Д А Т

* M

О C K »

А

' Ѵ ^

-

/-.

• s i ;3 г a ;

{ J A -

г 'I

-

•

"

,

СПРАВОЧНОЕ РУКОВОДСТВО ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

ГИДРОТЕХНИЧЕСКИЕ СООРУЖЕНИЯ

Г ЛА В НЫЙ Р Е Д А К Т О Р Э. Ф. ІЮЗШГТЛЛІ,

;» 14

\

ш

М О С К В А

•

Л Е Н И Н Г Р А Д

Г И Д Р О Т Е Х Н И Ч Е С К И Е СООРУЖЕНИЯ

ТОМ II

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТОДОЛОГИЯ

ГИДРОДИНАМИКА; ГИДРАВЛИЧЕСКИХ

ГРУНТОВЫЕ ВОДЫ;

ЛАБОРАТОРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ; ВОДОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ; РОЛЬ ГИДРОСТАНЦИИ В ЭНЕРГОСНАБЖАЮЩЕЙ СИСТЕМЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕЕ ЭКОНО МИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ; РАСЧЕТ ОСНОВАНИЙ ГИДРОСООРУЖЕНИЙ; П Л О Т И Н Ы

Р Е Д А К Т О Р

проф.

II. И.

ЛНИСИМОВ

1 9 3 6

Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н О Е

Т Р А Н С П О Р Т Н О Е

И З Д А Т Е Л Ь С Т В О

ПРЕДИСЛОВИЕ Программа II тома гидротехнических соору жений, объявленная в Предисловии к I тому, со ставлена в 1932 г. Истекшие годы внесли коррективы, благодаря которым выявилась настоятельная необходимость поместить во II томе статьи по вопросам (разде лы , В * , „Г" , .Д" , „Е" II тома), получившим силь ное развитие за эти годы в связи с общим ростом гидротехнического строительства в Советском союзе, исключив при этом некоторые ранее на меченные статьи (каналы, судоподъемники и т. п.). Одновременно стали очевидными: необходи мость подведения теоретической базы под основы плотиностроения (раздел „А"), а также потреб ность освещения вопроса о методологии гидра влических лабораторных исследований. Редактор проф. Н. И. Лнисимов Москва, 13 марта 1935 г.

Том II справочного руководства для инже неров водного транспорта „Гидротехнические сооружения* освещает вопросы теоретической гидродинамики, лабораторных гидравлических исследований водноэнергетическнх расчетов, расчетов оснований гидросооружений и плотин.

О Г Л А В Л Е Н И Е Стр.

Стр.

II. Законы движения грунтовых вод; вза имодействие грунтового скелета и грун товой воды; гидродинамическое давле ние 1. Понятие о механизме фильтрации; ос новная терминология 61 2. Основной закон движения грунтовых вод 62 3. Пределы применимости закона Дарен 4. Формулы, устанавливающие зависи мость коэфициента фильтрации от свойств грунта 64 5. Влияние воздуха, находящегося в по рах грунта 64 6. Фильтрация в крупнозернистых грунтах 65 7. Взаимодействие грунтового скелета и грунтовой воды. Гидродинамическое давление 65 III. Равномерное движение грунтовых вод 66 1. Эквипотенциальные поверхности и ли нии тока 66 2. Диференциалыюе выражение для за кона Дарен; метод плоской задачи . . 66 3. Равномерное движение несвободного (напорного) потока 67 4. Равномерное движение свободного (безнапорного.) потока 68 5. Расчетные формулы. Модуль расхода 69 IV. Неравномерное движение свободного грунтового потока 70 1. Предварительные замечания 70 2. Упрощенные живые сечения 70 3. Диференциальные уравнения нерав номерного движения безнапорного потока 71 4. Интегрирование диференциальных уравнений 73 5. Применение формул неравномерного движения свободного грунтового по тока 74 6. Условия входа и выхода грунтового потока 75 7. Удельная энергия сечения грунтового потока • 75 61 8. Формы кривых депрессий 9. Пространственная задача. Грунтовые русла диференциальных уравнений для случаев прямоугольно го, треугольного и параболическо го русел 11. Движение грунтовой воды к колодцам и скважинам 76 78 10. Интегрирование 79 79

Предисловие

4

А. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА Автор — И. А. ЧАРНЫЙ Введение ]. Основы гидродинамики идеальной жид кости 1. Диференциальные уравнения движе ния

9

9

9

2. Вихревое и безвихревое идеальной жидкости

движение

20 35

3. Теория волн в идеальной жидкости .

И. Гидродинамика вязкой жидкости . . .

39

1. Диференциальные уравнения Навье Стокса 2. Обтекание твердого тела вязкой несжи маемой жидкостью 3. Два режима движения вязкой жидко сти HI. Сводка формул и обозначений вектор ного анализа

39

42

47

53

Б. ГРУНТОВЫЕ ВОДЫ А в т о р — инж. А. В. 0С0НИН

Введение 54 I. Основные сведения о грунтовых водах 54 1. Коэфициент порозности и механиче ский состав грунта 54 2. Влажность. Классификация подземной воды 54 3. Физические основы явления передви жения парообразной, гигроскопиче ской и пленочной воды 55 4. Конденсация водяных паров атмосфе ры в горных породах 56 5. Условия равновесия капиллярной воды • • 56 6. Условия равновесия свободной грави тационной воды 57 7. Гидростатическое давление в гравита ционной воде 58 8. Различные виды подземной воды в при родных условиях 59 9. Глубина распространения и общие за пасы подземных вод 60 10. Происхождение и образование подзем ных вод 60

t

Стр.

Стр.

12. Определение дебета и депрессии ко лодцев V. Фильтрация воды в основании гидро технических сооружений 1 Введение 2. Теоретическое решение задачи . . 3. Способы лабораторного решения за дачи 4. Метод электрогидродинамических ана логий (ЭГДА) В. МЕТОДОЛОГИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЛАБОРАТОРНЫХ ИССЛЕДОВАНИИ А в т ор — доцент С. А. ЕГОРОВ Введение I. Правила масштабирования моделей . . 1. Законы гидродинамического подобия 2. Общие практические правила масшта бирования 3. Применение законов подобия в неко торых конкретных случаях 4. Искаженное масштабирование русло вых моделей 3. Измерение скорости потока 4. Измерение расхода жидкости . . . . 5. Измерение сил . . . . . . . . . . . 6. Измерение твердого расхода III. Изготовление моделей и устройство лабораторий 3. Водооборот в моделях . • . . . . 4. Новейшие гидротехнические лабора тории 5. Принципы проектирования гидротех иических лабораторий 6. Список советских гидравлических ла бораторий, ведущих исследователь скую работу Г. ВОДОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ А в т о р инж. А. М. МОРОЗОВ Введение I. Исходные данные , необходимые для водоэнергетических расчетов 1. Гидравлические лотки 2. Пространственные модели II. Лабораторные измерения 1. Измерение уровня воды 2. Измерение давлений

IV. Составление

схемы

использования

83

водотоков

109

1. Условия,определяющие разбивку уча стка исследуемой реки на бьефы 2. Соображения о выборе системы регу лирования 3. Оценка возможных систем регулиро вания 4. Предел регулирования 5. Влияние сработки водохранилища и; перераспределение мощности каскада и выработку энергии Выбор расчетных лет и порядок про ведения расчета регулирования . . 7. Учет аккумулирующей роли водохра нилища при определении расчетного расхода сооружений 8. О выборе величины нодтопа при кас каде водохранилищ 9. Примеры составления схем использ вания 6. V. Регулирование расходов воды . . . 1. Общие соображения о регулировани 2. Основные свойства интегральной кри вой 3. Интегральная кривая в косоугольны координатах 4. Многолетнее регулирование по сокра щенной кривой 5. Многолетнее регулирование по сокра щенной кривой при предварительных расчетах и при отсутствии данных наблюдений - . . 6. Регулирование каскада гидроустано вок 7. Регулирование по диспетчерскому графику 8. Расчет многолетнего регулирования по методам математической стати стики • VII. Определение мощности и выработки энергии по сезонам года 1 Определение мощности и отдачи за период сработки 2. Определение мощности и отдачи за летний период 3. Определение мощности и выработки энергии за осенний период 4. Определение мощности и отдачи за весенний период 5. Определение максимально возможной мощности реки 1. Общие соображения о выборе тур бин . . • 2. Предварительный выбор турбин . . . 3. Выбор турбин при отсутствии данных завода 4. Пересчет универсальных характери стик 5. Сравнение универсальных характери стик VI. Определение оптимальной сработки VIII. Выбор турбин

109 111 111 112

84 84 84 84 85

112 112

112 113 113

87

87 87

115 115 . 115 117

89

90

92

93 93 94 95 96 97 98

118

118

118 119

98

98 99 99 99 102

120

водохранилищ низконапорных ГЭС 121

122

125

103

127

127

127

104

129

104 104 104 104

130

1. Общие соображения 2. Гидрологические материалы 3. Энергетические материалы

130 131

4. Топографические материалы (харак теристика водохранилища) II. Об испарении с водной поверхности водохранилища

104

131

132

108 109

132

III. Учет потерь на фильтрацию

Стр.

Стр.

6. Сравнение турбин по методу наложе ния потока на универсальную харак теристику станции

Ж. ПЛОТИНЫ А в т о р — проф. Н. И. АНИСИМ0В I. Грунты как основания сооружений . . 190 1. Современный подход к грунтам как основаниям сооружений 190 2. Сжимаемость глины 190 3. Попытка объяснения структуры гли ны в условиях ее естественного зале гания (по A. Casagrande) 191 4. Влияние забивки свай на структуру глины 193 5. Осадка сооружений на свайном осно вании и без него 194 6. Неудовлетворительность современных приемов полевого испытания грунтов 195 7. Рациональный тип фундамента на глине 195 8. Необходимость новых исследований для установления способов определе ния осадки грунта под сооружением . 196 9. Поправка к пониманию Casagrande по ведения глинистых грунтов под на грузкой 196 10. Свайные основания в гидротехнике . 196 II. Устойчивость бетонных плотин на сколь жение в нижний бьеф (скалистое осно вание) 198 III. Фильтрация в основании плотин . . . 213 1. Введение 213 2. Взвешивающее давление в основании плотин на скалистом грунте 213 3. Исследования, предпринятые в США в отношении существующих плотин . 215 4. Предварительные замечания 215 5. Применение закона Дарси 215 і 6. Краткая историческая справка . . . . 215 7. Сравнение методов проектирования . 216 8. Новый метод проектирования (Lane) . 217 9. Заключение по предыдущему изло жению вопроса о фильтрации . . . 219 10. Теоретические и экспериментальные исследования 219 11. Математическое решение задачи о фильтрации воды под плотиной . . . 220 12. Случай отсутствия шпунтов 221 13. Случай плотины с одним шпунтовым рядом 222 14. Прием Bligli (line of creep theory) . . 224 15. Линии тока и эквипотенциальные ли нии при одношиунтовом флютбете . . 225 16. Постановка инженерной задачи о фильтрации 227 17. Закон Дарси 227 18. О давлении воды на грунт при филь трации 227 19. Случай плотины без шпунта 228 20. Случай флютбета с верховым шпун том 229 1. Введение 198 199 199 200 201 2. Цель опытов инж. Келен 3. Опытная аппаратура 4. Изготовление образцов 5. Производство опытов 6. Результаты опытов 203 7. Применение результатов опытов . . . 211

133

7. Определение

стоимости

подводной

части гидростанции

134

8. Определение стоимости оборудова ния ГЭС 9. Оценка различных типов турбин с точки зрения эксплоатации 10. Выбор типа и числа турбин . . . .

136

136 136

IX. Суточное регулирование ГЭС . . . . 1. Общие соображения о суточном ре гулировании 2. Кривые свободной поверхности при суточном регулировании 137 3. Метод инж. II. М. Вернадского . . . 137 4. Условие равновесия 137 5. Построение опорной кривой 139 6. Построение кривых подпора 140 7. Условие неразрывности 140 8. Построение свободной поверхности при неустановившемся течении . . . 140 9. Построение свободной поверхности при волновом движении паводка . . 141 10. Применение метода инж. H. М. Вернад ского к расчету суточного регулирова ния 142 11. Пример расчета суточного регулиро вания 143 136 136

X. Выбор мощности гидро-электрической станции

144

1. Общие соображения 144 2. Метод, примененный на Днепрострое . 144 3. Метод проф. С. А. Кукель-Краевского 144

Д. РОЛЬ ГИДРОСТАНЦИЙ В ЭНЕРГО СНАБЖАЮЩЕЙ СИСТЕМЕ И ОПРЕДЕЛЕ НИЕ ЕЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВ НОСТИ А в т о р — инж. Р. А. ФЕРМАН Е. РАСЧЕТ ОСНОВАНИЙ ГИДРОСООРУ ЖЕНИЙ А в т о р - г инж. M. М. СОНОЛЬСНИЙ Введение . . . . .

150

I. Метод проф. Н. М. Герс е ванова . . . .

150 150

1. Общие данные

2. Основание стенки расположено на по верхности грунта 3. Основание стенки расположено ниже поверхности грунта на величину h (рас чет с учетом глубины заложения) . . 155 150

И. Круглоцилнндрические

поверхности

скольжения

167 167 167

1. Общие данные

Метод проф. Феллениуса

Сравнение методов расчета устойчиво сти сооружении на скольжение по круглоцилипдрическим поверхностям 188

Стр.

Стр.

21. Случай флютбета с одним низовым шпунтом 22. Случай флютбета с двумя шпунтовы ми рядами 23. Флютбет, погруженный на всю толщи ну в грунт 24. Одиночный зуб (диафрагма, шпунт) без флютбета 25. Метод Bligh и метод кратчайшего пу ти фильтрации с точки зрения вымы вания грунта из-под флютбета . . . . 26. Оценка метода инж. Lane 27. Применение понятия выходного гра диента к проектированию плотин . . 232 28. Дренаж 232 29. Взвешивающее давление 232 30. Заключение по вопросу о фильтра ции 233 IV. Гашение вредной энергии воды . . . 233 V. Затворы водосливов плотин 237 VI. Дроссельные затворы водоспусков плотин 245 1. Введение 245 229 230 230 230 230 231

2. Механические и гидравлические свой ства дросселей 3. Опасность кавитации при водоспуск ных дросселях 4. Устранение кавитации в дросселях водоспусков

245

249

255 261

5. Заключение

VII. Исследования 1935 г. явлений филь

трации в плотинах и в их основании 262 1. Влияние слоистости аллювия на филь трационный поток под флютбетом пло тины 262 2. Новейшие данные о фильтрации во ды через тело земляной плотины на непроницаемом основании 263 3. Сравнение методов проф. Павловско го, инж. Нельсон-Скорнякова и депрес сионной прямой 265 4. Плотины на проницаемом основа нии 266

VIII. Новейшие применения теорий упру гости и пластичности к расчету ос нований плотин

266

\

А. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА В В Е Д Е Н И Е

Предметом гидродинамики является изучение условий равновесия и движения жидкостей. Под жидкостью, в широком смысле слова, мы понимаем совокупность материальных частиц, не прерывно заполняющих какую-либо часть про странства. Отсюда ясно, что гидродинамика яв ляется специальным отделом динамики системы. Отличие гидродинамики от динамики системы— части теоретической механики 4 — заключается в том, что в то время, как в механике изучаются законы движения материальных тел независимо от их физической природы, в гидродинамике постоянно приходится считаться с физическими свойствами жидкостей: плотностью, вязкостью, температурой и пр. Изучить движение системы материальных точек в самом общем случае — это значит уметь найти траекторию любой из движущихся частиц в любой момент времени. В гидродинамике же, кроме этой, по существу кинематической задачи, изучается еще крайне важ ный вопрос о поведении твердого тела в жидкости. Вследствие непрерывного заполнения какой-либо части пространства различные кинематические и динамические элементы движения, являющиеся, вообще говоря, функцией времени и координат, приходится описывать с помощью диференциаль ных уравнений с частными производными, так как обыкновенные диференциальные уравнения, рассматриваемые в динамике системы или твер дого тела, недостаточны при бесконечно большом числе частиц. Реальные жидкости, изучаемые в гидродинамике, делятся на несжимаемые или капельные, и на сжимаемые или газы.

При изучении тех и других, в первом прибли жении пренебрегают силами вязкости или внутрен него трения между жидкими частицами, т. е. вводят понятие о так называемой идеальной жид кости, абсолютно невязкой. Тем не менее ограничиться изучением одних идеальных жидкостей невозможно, так как изуче ние движений при больших скоростях, а также законов обтекания твердого тела, показало боль шую роль вязкости даже при ее малом значении Все же приходится констатировать, что значи тельная сложность уравнений движения вязкой жидкости позволяет до конца решить вопрос пока только в очень небольшом числе частных случаев. Этим надо объяснить широкое развитие экспе риментальных работ, восполняющих недостаточ ность теории. Однако, как показал опыт, развитие экспери ментальных исследований пока что не смогло создать прикладной гидродинамики: к сожалению, эксперименты мы нередко выполняем от случая к случаю, и до накопления обобщений, способных создать прикладную гидродинамику, еще далеко. Отсюда вновь возникает потребность вернуться к теоретической гидродинамике — сначала для получения объяснений наблюденного, а затем для отыскания направлений дальнейших исследо ваний. В настоящее время гидродинамика играет ак туальную роль в гиДротехнике, в особенности в теории фильтрации, а также в теории водо спусков (см. Ж-ІІІ и Ж- Ѵ І). Это исследование можно произвести двумя способами. О д и н с п о с о б принадлежит Эйлеру и за ключается в следующем: в пространстве, занятом жидкостью, выделяют какие-либо точки и иссле дуют скорости жидких частиц в этих точках в зависимости от времени. Математически это можно сделать так: в про странстве, занятом движущейся жидкостью, рас полагаем неподвижную систему координат ОХ)"/. (рис. 1). Возьмем любую неподвижную точку А (с ко ординатами X, у, z), определяюмую вектором г. Пусть в момент времени t скорость жидкой час тицы, находящейся в А, есть q, причем проек ции этой скорости на оси координат пусть будут и, V, w. Таким образом этот способ исследова ния сводится к нахождению и изучению зави-

I. ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ жи д к о с т и

1. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ а) Основные положения

Задачей гидродинамики является изучение за конов движения частиц в жидкостях или газах. Так как длина свободного пути молекулы в жид кости или газе обычно настолько мала, что ею можно пренебречь по qpaBHennio с размерами исследуемой области, занятой жидкостью или газом, то эту область можно считать заполненной материей непрерывно, т. е. сплошной средой, иначе именуемой континуумом. Это обстоятельство дает возможность прило жить к исследованию анализ бесконечно малых, имеющий дело главным образом с ненрерывными функциями. Первая задача заключается в исследовании скоростного поля частиц сплошной жидкой среды.

чаем значения проекций скоростей, определяемые системой (2), т. е.

симости q — q (г, t) или, в проекциях на оси ко ординат: и — и (X, у, г, t) 1 V = V (х, у, 2, t) . (1 ) W— W (X, у, 2, t) ) При установившемся движении, когда скорости частиц жидкости не зависят от времени, а зависят только от их положения, q — q{r), или в коор динатах: 11 = и (Л-, у, Z ) Ï V = V (х, у, z) I. (2) w = w (д-, у, г) ) Эти уравнения полностью описывают скорост ное поле движущейся жидкости, причем система (1) относится к случаю, когда это поле меняется с временем, т. е. к неустановившемуся движе нию, а система (2) — когда это поле от времени не зависит, т. е. к установившемуся движению.

— и — и (х, у, z, t)

= ѵ — ѵ (х, у, z, t)

= W = W (х, y, 2, t)

Таким образом метод Лагранжа дает интегралы системы совокупных уравнений Эйлера, причем параметры а, Ь, с являются постоянными инте грации и определяются из начальных условий.

Остлновимся на некоторых представлениях, необходимых для дальнейшего. Метод Эйлера дает вид поля скоростей, т. е. функцию 4=1 (г. Т). Если в какой-либо момент времени зафиксиро пать это поле и провести кривые, касательные к которым в любой точке совпадают с направле нием скорости частицы жидкости, находящейся в этой точке, то такие кривые дадут наглядное представление о направлении скорости в каждой точке пространства.

Рис . 1

Д р у г о й с п о с о б принадлежит Лагранжу и заключается в исследовании движения отдельной частицы жидкости, нахождении ее траектории, скорости, ускорения и т. д. Если соедииить какую нибудь^ движущуюся частицу M радиусом-век тором т с началом неподвижной системы коор динат OXYZ , то движение будет полностью опи сано, если для каждой частицы будет найден за кон движения в зависимости от времени t не е на чального положения s, т. е. будут установлены зависимости (рис. 2): 7— г (t, s) X — А- (/, а, Ь, с) y = y(t,a,b,c) Г ( } z — z (t, а, b, с) где а, Ь, с — проекции s на оси координат. Из свойств жидкости, как непрерывно распре деленной материи, следует, что функции, опре деляемые системой (3), должны быть непрерывны и днференцируемы. Относительно же функций системы (2) того же сказать нельзя, так как, вообще говоря, в жидкости скорость может меняться прерывно от точки к точке. Легко видеть, что между способами Эйлера и Лагранжа существует тесная связь. Действитель но, диференцируя функции системы (3), мы полу

Эти кривые называ ются линиями тока (рис. 3). Линии тока отожде ствил ять с траекто риями нельзя, так как л и н и и т о к а о т н о - с я т с я т о л ь к о к о д н о м у м о м е н т у С траекториями ли

нии тока совпадают т о л ь к о п р н у с т а - и о в и в ш е м с я д в и - ж е и и и, когда ско ростное поле от времени не меняется.

Диференцналыіые уравнения линии тока нахо дятся так: так как по определению скорость q по нанравлению совпадает с касательной к линии тока, то они образуют одинаковые углы с осями координат. Косинусы углов скорости q с осями равны и V w

Косинусы касательной к линии тока с осями равны dx dy dz ~ds' ds' ~ds' где ds — диференциал дуги линии тока. Отсюда получаем: dx_ ds

Вектор s является величиной, характеризующей каждую частицу жидкости. Иначе говоря, каждой физической частице соответствует определенная тройка чисел а, b, с, которая является как бы наименованием этой частицы. Если взять теперь какую-либо неподвижную точку пространства и в какой-то момент времени t зафиксировать положение тех жидких частиц, которые проходили через эту точку пространства в промежуток времени от t = 0 до фиксируемого момента, то получится линия, называемая л и н и е й о т м е ч е н н ы х ч а с т и ц . Линиями отмеченных частиц пользуются при экспериментальных исследованиях различных течений. Дчя получения их опускают в жидкость одну или несколько трубочек и выпускают из последних краску. Видимые, благодаря окраши ванию, линии и являются линиями отмеченных, частиц, так как они состоят исключительно из частиц, прошедших около'отверстия трубки. Очевидно, что — при установившемся движе нии— линии тока, липни отмеченных частиц и траектории совпадают. б) Диференциальные уравнения движения жидкой частицы в форме Лагранжа, Эйлера и Лэмба-Громеко Первой задачей при обоих методах исследова ния является вопрос о связи между силами, дей ствующими в жидкости, и производимым этими силами кинематическим эффектом. Силы, действующие в жидкости, можно разде лить на два класса: 1) силы массовые, действующие на произвольно выделенную массу жидкости независимо от окру жающей жидкости, например сила тяжести, инер ции и пр. Это будут внешние силы. Эти силы будут в дальнейшем обозначаться вектором Р; 2) силы поверхно стные, действующие

и 1 V 4 w 4

dy

ds dz ds

или

dz

(ІХ_ и äl L <7 Здесь только два первых равенства независимы, третье же есть их следствие, так как ds _ Vdx't -f rfy» -f dy* 7 — V u ? ' + + а это равенство вытекает из первых двух. Два независимых соотношения между тремя координатами х, у, з и определяют линию тока, причем время t входит как постоянный параметр. Таким образом dx dy u(x,y,z,t) ѵ (х, у, Z, t) dz ~ W (X, y, z, t) • (5) Для определения траектории имеется система (4), куда время t входит не как параметр, а как существенно независимое переменное. При уста новившемся движении функции системы (4) от времени не зависят, и время t в этих функциях может быть рассматриваемо как произвольный постоянный параметр. В этом случае системы (4) и (5) эквивалентны, т. е. при у с т а н о в и в - ш е м с я д в и ж е н и и линии тока в траектории совпадают, что ранее уже и было сказано. Вообще линии тока физического смысла не имеют, а являются лишь математическими обра зами. В векторных обозначениях диференциаль ное уравиепие линий тока есть id?, ?] = О, где т/г —диференциал радиуса - вектора какой нибудь (точки линии тока, совпадающей по на правлению, как известно из векторного анализа, с касательной, а символ [ ] означает операцию векторного произведения векторов dF и q. Так как по определению векторы гіг и q' параллельны, то это произведение равно нулю. Подобно тому как эйлеровский способ иссле дования влечет за собой понятие линии тока, способ Лагранжа влечет за собой понятие о линии отмеченных частиц. Рассмотрим систему (3): 7=7(t, s), . V w

'iL

на границах выделен ного объема со сто роны окружающей жидкости. Эти силы в дальнейшем будут обозначаться векто ром Р. В идеальной жид кости силы трения отсутствуют; кроме того малейшее растя жение влечет за собой разрыв сплошности. Следовательно, по

Рис . 4

верхностные силы должны быть направлены обя зательно по внутренней нормали к элементам поверхности выделенного объема жидкости. '« Ц Пусть в жидкости выделен произвольный объем т (рис. 4). Пусть далее на элемент поверхности (s) дей ствует сила Р. Если взять внутри элемента д любую точку А и неограниченно уменьшать эле мент, так чтобы он в пределе обратился в точку А, то, как известно, предел отношения р V = lim ss о s является вполне определенной величиной, неза висящей от того, какая именно площадка стяну лась в точку А.

X = X (t, я, Ь, с), у -у (t, а. Ь, с), z = z(t, а, Ь, с).

Величина

р называется

гидродинамическим

Так как вектор р направлен по внутренней нор мали, то р = —рп и уравнение (1) можно переписать в виде f (F — a) p dx = j pu ds = 0. (6') К последнему интегралу можно применить из вестную формулу Гаусса, дающую преобразова ние интеграла, взятого по замкнутой поверхности, в объемный: д Ѵ дх dx dy dz — V cos (я, x) ds

давлением в точке А. Общей задачей гидродинамики является уста новление распределения скоростей и гидродина мических давлений под действием заданных внешних сил. Для этой цели сначала нужно установить не которые общие соотношения, связывающие поля скоростей и давлений. Эти соотношения и даются диференциальными уравнениями гидродинамики, вывод которых дается ниже. К любой материальной системе можно приме нить начало Даламбера, гласящее, что в каждое мгновение движения все силы, приложенные к системе, включая силы инерции, взаимно урав новешиваются. Выделим в движущейся жидкости произволь ный объем т, ограниченный поверхностью « (рис. 5).

j j

dxdydz—

j Vcos (n,y)ds

(7)

I f f ' dV dz

dx dy dz = j V cos (я, z) ds

где я обозначает единичный вектор внешней нормали к поверхности«, а, V—произвольная днференцируемая функция координат х, у, а. Умножая уравнения (2) на i, j , к и складывая, имеем f j j (grad V) dx dy dz = j Vn > « где dV dV grad Ѵ = : т - . х + - ж г . ; + dy dV dz '

Рис . 5 Равнодействующая всех внешних сил, действую щих на элементарный объем dx, равна Ff dx, где есть плотность жидкости. Сила F отнесена к единице массы. Равнодействующая внешних сил, действующих на весь объем х, выразится объемным интегралом I Ëfidx, распространенным по всему объему т. Аналогично, равнодействующая сил инерции есть / (— a) p dx, где а — ускорение жидкой частицы. Равнодей ствующая сил давления (поверхностных) есть I P ds, где последний интеграл берется по всей замкну* той поверхности s (поверхностный интеграл). По принципу Даламбера I* Fo dx -f j (— а) p dx -f j ]) ds — О

градиент скалярной функции V. Так как dx dy dz = dx, то имеем

(7')

f grad V-dx — j V-n\ds.

Формула (7' ) представляет собой следствие известной теоремы Гаусса. Отсюда последний интеграл в (6') можно пере писать: j р • п • ds — j grad p • dx (8)

и (6' ) представится в виде

f i ( f - « ) p - grad] p d x = 0.

(6")

Так как объем т взят произвольно, то отсюда следует, что подинтегральное выражение равно нулю, т. е. ( F — p— grad р — 0, или в проекциях: X— лx : 0

1 dp р дх

«ли

f (F-a)pdx

+ I p ds-

(6)

(9)

P dy

1 dp = 0 p dz

Обозначим единичный вектор (так называемый „орт") внешней нормали к элементу поверхности s через я, а единичные векторы направлений координатных осей через i. j , k.

Z — a z

где X, Y, Z — компоненты F по осям координат.

Диференциальные уравнения (9) и являются общими соотношениями между полями скоростей и давлений. Компоненты ускорения а х , а у , а г являются пол ными производными от компонентов скорости и, v, w. Таким образом

где символ rot g означает операцию

i j k JL JL JL dx dy âz U V w

fdw

dv \ — .

rot <7 = І ѵ ,<7] =

du dt

du

dx

\

du

dt

dt

dx

, (du

dw\ - . (dv

du \ —

du

du dz

dz

dy dy ' dt

dt . du

именуемую вихрем вектора g или ротацией. Из (8): (Я, grad q) = - i - grad 92 — \q, rot q\, (13' )

du dt

du

du_

D7 w;

V +

dx '

Oy

dx

dv _ dv , dv ~dt ~~ ~dt dx

Подставляем в (12) н, так как

dy

ày_ dz_ __ dv_ ~àz ' dt " dt

+

dv_ dy

(101

~dt

+

grad q 1 = grad - у q \

~

dv ,

dv

, do 1 dy

w;

dx

1 dz

получаем: 1

dw _dw

. âw d T + d T

dt +

'lä

a- :

grad ^ ç 2 —[ < ? , rot "q] (14)

dt

âw dt + dF

dz —

. dw dy

4

или, в других обозначениях:

dt ~ dt

+

. dw

. dw

, dw

F - у VP —

+ V ( j

- IЧ. rot q}. (14' )

t Подставляя значения a x , a y , а г из (10) в общие уравнения движения (9), получаем уравнения, выведенные впервые Эйлером: X — JL ÈL. P dx у L д Р du . du . du . du • -3— 4 - и з С V з w - dt 1 dx 1 dy dz dv . dv , dv , dw ST + " J— + О -5 Г W -3—

Проектируя уравнение (14) на оси координат, получим уравнения в форме Лемба, выведенные также Громеко (Казань), представляющие простое преобразование уравнений Эйлера:

получим:

\ rot q = <»,

Обозначив

(И)

у 1 dp _ Ou р дх ~ dt ^ + ßjr [Y q2 ) ~ 2 ( � Шг ~ Wwy) ' Y-L d P-- d JLA

P ày \ dp Р

dt 1

dy '

dz

dx '

dw . dw . dw

• w dw dz

W~~dt

~ l _ B ä F

+ v l y

Умножая уравнения (11) на орты i, j , k и скла дывая, получим уравнения движения в векто риальной форме:

(15)

p dy ~ dt ^

F— - i - grad P = -jjj- f

(q, grad) q ,

(12)

dt +

Z- — -' P dz

или в иной записи:

dw

1 dp

(12')

+ - f c (•Y - 2

-

— Г

F

^

где V = grad — оператор Гамильтона

где

1 (dw

dv \ d 7 ~ d F / '

(dx 1 + dy J + dz к ) • Из векторного анализа известно преобразова ние: — grad q- = {q, grad) q + [q rot "q], (13) I

1 (du

dw \

2

\1J~W)'

1 (dv 2 \dx

du_\

dy)'

дает окончательно уравнения движе ния в форме Лагранжа:

В общих криволинейных координатах а и а ь о ;1 уравнения Эйлера принимают вид, аналогичный уравнениям Лагранжа в аналитической механике: J _ f à T \ _ à T _ 0 J L д 1 at I да, ) да, ' S да. { / = 1 . 2 , 3 } , где da, dt

дРІ да 1

6« Ч

ш

, 6'z\ dz _

др

р да

др) да~

дР Jdb'^

6Г< ./66 Г Ѵ

(17)

г\ dz 1 dp J ab " f d b

__(ц5_j_ 1 , 2 _ J _ — ж и в а я сила единицы

^ I (у

J*y\ d y

f у ..

Y

dPjdc^V

dPjdc' dp дс

массы, а п

„дх

,

ду . „ dz

' V

дР ) дс ' Р

Q • = л -X Г К - да 1 1 daI 1 da t обобщенная массовая сила. '

\-Z-x — — так называемая

В практических случаях применение метода Лагранжа оказывается весьма кропотливым. По этому в громадном большинстве случаев пользу ются эйлеровскими уравнениями. Уравнения Эйлера могут быть выведены еще иначе. Рассматривая поток через бесконечно малый параллелепипед, можно вывести уравнения гидро динамики не в векторной, а прямо в координат ной форме. Обычно такой вывод дается в боль шинстве курсов гидравлики. в) Уравнения неразрывности и состояния а) Уравнение неразрывности Уравнения Эйлера содержат в общем случае пять неизвестных величин: и, ѵ , w, р, р, являю щихся функциями аргументов х,у, z,t; уравнения Лагранжа тоже пять величин: x,y,z,p , р, являю щихся функциями аргументов і, а , Ь, с. В обоих случаях пять неизвестных функций связаны тремя соотношениями—тремя уравне ниями движения. Недостающие два уравнения можно получить: из условия сохранения массы движущейся жидкости (так называемое уравнение неразрывности) и из соотношения между плотно стью р и давлением р (уравнение состояния), даваемого термодинамикой. Для вывода уравнения неразрывности доста точно рассмотреть поток вектора рq через неко торую н е п о д в и ж н у ю ! замкнутую поверх ность s произвольной формы, находящуюся в движущейся жидкости и ограничивающую объем т. Тогда, на основании теоремы Гаусса:

Эти формулы получаются при переходе от де картовых координат к криволинейным, для чего должны быть даны функции:

X — X (а,, а 2 . а а> 0> V —у ( а і> «2. а з. /); Z — Z (aj, а 2 , а,, /).

Чтобы получить уравнения движения в форме Лагранжа, за независимые переменные нужно принять время и параметры а, Ь, с. Тогда получим

д*х

62 У йу ~ дР ' 6*z : дР '

Подставляя эти значения в систему уравнений (9), получим:

(Т-х __ 1 др дР ~ р дх

Х

1 др_ С ày 1 dp

ѵ - дг У

(16)

дР '

Z — д-z

дР ~ р dz Умножая уравнения (16) соответственно на дх ду dz

div (р q) dr,

IР4n-ds=

j,

да ' да

да

где dlv (р ~q) =

и складывая, получим:

д (р w) dz

д(р и)

д(р ѵ )

( 6> Ѵ \6у Г - W j W + { Y ~ W ) да + (Рх\дх /

дх ^

ду

a q„ — величина проекции вектора скорости q на внешнюю нормаль п к элементу поверхности ds. Этот поток выражает массу жидкости, вытекаю щей за единицу времени из замкнутой поверхно сти s. Это обстоятельство влечет за собой соот ветственное уменьшение плотности в точках внутри др поверхности s на — dt' Полное уменьшение массы жидкости внутри объема равно, очевидно.

+ Ѵ

дР ) да -

— 1 (àp дх

] à р_ду__ dp dz \ _ 1

àp

" Р \дх да ' ду да Аналогично умножение на

dz ~дй ) ~ ~р~

да

дх 'V ду dz дЬ' 66' дЬ дх д ѵ dz de' de' дс

и на

fad,

•

J dt

Отсюда

где

дх dy dz да да да дх ду dz дЬ дЬ дЬ дх ду dz дс дс дс

dv.

f РЧп ds = j div (pq)dr = — j

£> =

Так как объем т выбран произвольно, то д? ' dt' div (р q) = - или в координатах: др. д(ри) dt дх , д (? ѵ ) д (рw) _ Уравнение (18) и есть уравнение неразрывно сти в общем виде. dp Для установившегося течения ^ — 0. Для несжимаемой жидкости р = const и уравне ние неразрывности обращается в + J + ^ = (18') I * 1 ду -Oz дх В случае несжимаемой жидкости легко видеть, что поток скорости через любую замкнутую по верхность равен нулю, т. е. объем жидкости, втекающей в поверхность, равен объему выте кающей жидкости. Это свойство дает возможность иллюстрировать движение отдельных струек сле (18) кулярных к трубке сечения а и b с площадями c j и о 2 , то, применяя предыдущее свойство и счи тая в виду малости сечения скорость в разных точках его постоянной, имеем: dpi ЧР-,. Таким образом произведение'из величины ско рости на площадь перпендикулярного сечения остается постоянным для каждой трубки тока и выражает объем втекающей и вытекающей жид кости в единицу времени. Почти аналогично выводится уравнение нераз рывности в переменных Лагранжа. Пусть одна и та же масса жидкости с плотно стью ро вначале занимает объем т 0 , затем через некоторое время объем т, причем новая плотность становится равной р. Тогда сохранение массы выразится равенством f f f ? 0 da db d c ^ j j f P dx й У dz • (19 ) те T Заменим переменные x, y, z переменными а. b, с. По известному из математического анализа пра вилу преобразования кратных интегралов рdx dy dz = J j* j p-Dda db dc, '0 дующим образом. Вы делим в движущейся жидкости малый зам кнутый контур с и через каждую точку контура проведем ли нию тока. Получен ная трубчатая поверх- • ностыіазываетсятруб кой тока (рис. б). Если провести те перь два перпенди

—функциональный определитель Якоби (Якобиан).

(Po — pD) da-db-dc = 0,

и, в виду произвольности т 0 :

дх ду dz да да да дх ду dz дЬ дЬ дЬ дх ду dz дс дс дс

Ро —• p D = Po— р

(19' )

Рис . 8 уравнение (19' ) и есть уравнение неразрывности в переменных Лагранжа. Иногда удобно пользоваться уравнением нераз рывности в различных криволинейных координа тах. Так например в цилиндрических координа тах /', 0, z (рис. 7) уравнение неразрывности имеет вид; dp dt 1 d(prqr) : 1 + г дг d(pq h ) д(рд 2 ) ' dS dz : :0, (20)

передаче теплопроводностью, седьмое уравнение есть . (VT dz*} ' где А — постоянная, зависящая от теплопровод ности жидкости и прочих физических констант. Несмотря на это для большинства механических задач обычно удается снизить число гидродина мических уравнений до пяти, так как термодина мический характер процесса притока энергии обычно бывает или изотермический ( Т = const) или адиабатный (е = 0). В первом случае пятое уравнение есть р - =— = c o n s t , во втором р - — = const, р* г) Разложение движения жидкой частицы на элементарные: поступательное, враща тельное и деформационное Прежде чем приступить к выводу общих ин тегралов гидродинамических уравнений, необхо димо установить, из каких кинематических эле ментов слагается движение жидкой частицы. Возьмем в движущейся жидкости неподвижную точку О и примем ее за начало координат. Пусть скорость в окрестности точки О есть непрерывная и днференцируемая функция координат. Тогда всегда можно указать достаточно малую область вокруг точки О, в которой скорость будет линей ной функцией координат, причем ошибка будет меньше сколь угодно малой наперед заданной величины. Если скорость в О есть q 0 , то ско рость q в любой другой точке, находящейся в области О и характеризующейся относитель но О радиусом-вектором в, с компонентами .с, у , z, найдется из разложения в ряд Тейлора, где, согласно вышеизложенному, можно пренебречь членами со степенью выше первой: где у . — показатель адиабаты.

где q r , çq , q z —проекция

скорости иа оси цилин

дрических координат г, 0, z. В сферических координатах г, 6, ф (рис. 8): dp _ 1 d(pq -H) . 1 d ( p < 7 0 s l n 0 ) dt Г « + дг 1 Ts in 0~ г sin О d

1 H 3 da 3 + d ( p q s )

d ( p < 7 i )

i

1 d ( p

,

da.

da 2

dt ' Я ,

Ho d (HM,) da 1

d(H s Ho) da 2

t\

+

H v H r H»

мп + 9,

tlMsLl-a

(21)

da, J - 0 ' где / / j , Hi, H,j — параметры Ламэ:

" • - Ѵ Ш Й Щ Щ -

ft) Уравнение состояния В тех случаях, когда плотность р непостоянна, т. е. жидкость сжимаема, нужно иметь еще 5-е уравнение. Это уравнение дается термодинами ческой зависимостью р—р (р). В общем случае исследования движения сжи маемой жидкости оказывается необходимым ввести две новые величины: абсолютную температуру жидкости (Г) и количество энергии (е), получае мой единицей объема жидкости в единицу вре мени. Таким образом всего оказывается семь неиз вестных функций: и, V, w, р, р, Г, е, зависящих от X, у, z, t. Для нахождения этих функций имеются только шесть уравнений: а) три уравнения движения и уравнение нераз рывности; б) уравнение притока энергии, берущееся из первого начала термодинамики: iІТ . р da в = рс ѵ — А — r dt р dt где с ѵ — теплоемкость при постоянном объеме, А—термический эквивалент работы; в) уравнение Клапейрона (для идеальных газов) - = RT (R — газовая постоянная). Седьмое уравнение зависит от способа пере дачи энергии в жидкости. Составление его очень затруднительно, так как эта.передача может осу ществляться путем теплопроводности, лучеиспу скания и конвекции, а в природе обычно всеми тремя путями сразу. В частном случае, при тепло

<Т=

или в координатах: — -./ .

du

ди , ди\ .

^ 1 Ы х д - х + У Т у + 2 ді)

+

i àv . д ѵ \ . 7yoy+ z ôz) + . dw dw\

д ѵ

(22)

+ 7

(ро + -

дх

äw дх

-f k

+ .

У ~dy

Z Hz)

Отсюда следует, что различие скоростей внутри рассматриваемой области от скорости в точке О определяется девятью величинами, а именно част ными производными от проекций скорости q — и, V, w, по координатам х. у, г. Эти девять вели чин можно представить матрицей ди

ди ду д ѵ _ ду

Ê1L dz до Hz dw Hz

дх до дх dw дх

dw

ду

du dx'

1 (du . д ѵ \

1 / du , dw \

Равенство (22) представляет собой случай ли нейной зависимости между векторами q 0 и q. Эта зависимость дает закон получения вектора q из вектора q 0 и определяется девятью коэфициента ми — членами матрицы (23), совокупность которых называется тензором второго ранга или аффино ром, а члены матрицы — компонентами или соста вляющими тензора. Общий вид тензора второго ранга дается мат рицей а хх а ху a xz а ух а уу a yz O-zx a zy a zz Этот тензор дает возможность из какого-либо вектора г с компонентами r x , Гу, r z получить дру гой вектор Г|, по закону

'2\~dy^~ dx)' 2 \~dz +

dx)

1 / dv

du \ д ѵ

1 (dv

dw^

2

~*~~dy) ' dy ' 2 l ~dz + ~dy 1 " r

1 / dw - du \ 1 / dw , dv \ dw T \dx-~ l ~ ~TzJ ' ~2 { ду ~ dz) ' dz (du _dv\ 1 fdu __dw\ ' 2 V.dy ~~ d x ) ' 2 l"dz Tz)

de)'

2 {dy

dv)'

2 W *

И уравнение (22) можно после несложных пре образований (меняя тензоры местами) представить в виде:

гі=7 (а Х х г х + а ху гу -f- a xz r z ) -f + j (аух r'x + a yy ry -f- a yz r z ) -f 4~ (Pzx r x + a zy ry + a zz r z ).

dw\

ди dz

d = do + î- j [ ( ( dv du \

1 , — Г du

.

Сокращенно это можно записать 7i = (T x r), где T—символ тензора.

Тензор, в котором члены, не стоящие по диаго нали, попарно равны, называется симметричным. Легко видеть, что он определяется только шестью компонентами. Если же -эти члены равны и про тивоположны по знаку, то тензор называется антисимметричным. Если взять два тензора "и составить из них третий, у которого компоненты равны суммам соответствующих компонентов первых двух, то получится тензор, называющийся суммой первых двух тензоров. Порядок сложения, как легко до казать, роли не играет. Обратно, всякий тензор может быть представлен как сумма двух тензоров, симметричного и антисимметричного. Действительно:

, — Г 1 / du , ди\

, dv

1 I I dw _ д ѵ \ . 2 [ I dy d z )

И + ( У У du dz dw du dz + -ô \dy^"dz

dw dz 4

a x y

ayx a X z 4~ a z x

a x .

а хх, а ху, а хг

(24)

2

ХУ + -;

'

т~

'

ayx 4 - a xy „ 2 az X + a xz a zy + ayz 2 — ' " г - " 2 ' УУ'

a yz 4 ' a zy

+

аух. а уу> ау,

Обозначая [см. первый тензор правой части уравнения 23'): ди _ ~Ш- ахх '' д ѵ Ту dw = ауу', — azz, I f du , д ѵ \ л . "2 \ dy ^ ~ ~ д х ) = 2 x y = y x ' 1 / dv . dw\ „ . ~2 \ d7 ~dy) ~ Uyz ~

a zx, a zy, a zz

a Z z

+ a a x y — ayx a X z — a ?x 2 ' , 2 ayx — a x y^ q a yz — a zy 2 2 Яг y — a xz a z y —ayz 2 ' 2 , 0 т. е. тензор (23) можно представить в виде: du du du дх ' ду ' dz д ѵ д ѵ д ѵ

2" \~dx' 1 !dw . du\

„ .

и вводя в рассмотрение поверхность 2 F (.с, у, г) = а хх • xi - f а уу • у- 2 + a zz • г 2 4~ 4 - 2 и х> • ху -f- 2ау z • yz 4- 2a zx - zx = const (24' )

дх' dy' ~dz dw dw ûiv дх ' ду ' dz

2 Спрмочннк

(так называемый тензорный эллипсоид), уравне ние (24) можно представить в виде:

— скорости сдвига (изменения прямых углов) в на правлениях, параллельных к о о р д и н а т н ы м плоскостям OXY, ОYZ, OZX. д) Интегралы уравнений гидродинамики а) Начальные и граничные условии Решения диференциальных уравнений гидроди намики, как уравнений с частными производными, будут содержать произвольные постоянные и произвольные функции, которые при решении конкретных задач нужно подчинить добавочным условиям для достижения определенности реше ния. Эти условия могут быть, двоякого рода: начальные условия, которые должны выпол няться во всех точках пространства, занятого жидкостью, для начального момента времени t = 0; пограничные условия, которые должны выпол няться на границах жидкости в любой момент движения. Математически это можно записать так. Начальные условия дают поле скоростей в на чальный момент, т. е. решения и (х, у, s, t), v(x, у, z, t), w(x, y, z, t) для момента времени t = 0 должны обращаться в наперед заданные функции координат: Если жидкость среди своих границ имеет не подвижную стенку, сквозь которую она не про никает и к которой прилегает без образования пустот, то пограничное условие заключается в ортогональности нормали к стенке и скорости ча стиц вдоль стенки. Если уравнение неподвижной стенки F{x,y,3) = 0, (28) то косинусы углов нормали с осями координат dF dF dF пропорциональны величинам , у - , -^р и по граничное условие есть (в виду ортогональности скорости и нормали) dF , dF dx 1 ду Легко доказать также, что для подвижной стен ки, уравнение которой есть F(x, у, z, 0 = 0. (28') ѵ + ÖF dw w = 0, (29) пограничное условие есть dF , dF , dF tt+ nr: • v-j-- dx dv dz i d h A ® + = o. (29') Иного рода пограничное условие должно вы полняться для свободной поверхности жидкости, граничащей с пустотой или с воздухом. Так как там давление окружающей среды постоянно, то должно выполняться пограничное условие вида р (х, у, z, t) = , const. (30) Интегрирование диференциальных уравнений гидродинамики при соблюдении начальных и гра ничных условий представляет собой необычайные U (X, у, Z, 0)'—U[ (х, у, z) v(x,y. z, 0) — t'i (х, у, з) j . (27) w (х, у, z, 0) = w, (х, у , z) Известные функции u h v h Ш] и определяют начальные условия. Пограничные условия могут быть нескольких видов.

X — (rot q) x • z]

+ J . dF — 1

— — k ' "f t ( r oU / ) v " y ( rot ,j) y '

+

i r d F + *' dJ

(25)

или

1 - -1 , - dP . 2 " r o t < ? ' £ | + ' dx +

< 7 = <7o +

Y - d F . - r r

dP

(25')

Как известно из теоретической механики, ско рость о точек вращающегося твердого тела опре деляется из формулы v — К г], где <и — вектор угловой скорости, направленный по оси вращения, г — радиус-вектор движущейся точки до не подвижной точки оси. Если обозначить о) = — [rot q], е = Г, то уравнение (25') можно окончательно записать в виде: ~ч = 7с + К г 7 ! + Ï - дх + . -, OF , - dl- + J ~ d y + k dz ' (26) Уравнение (26) показывает, что движение жид кой частицы складывается из движений: а) поступательного со скоростью г/ 0 ; б) вращательного вокруг мгновенной оси, про ходящей через точку О с угловой скоростью <и = 2 rot q, именуемого вихрем; в) движения с компонентами скорости dF OF dF dx' dy' dz именуемого деформационным. Очевидно дефор мационное движение или деформация определяется симметричным тензором 7\ [см. уравнение (23')]. Как известно, компоненты его dit dx а у У = dv dy' dw ~dz дают скорости растяжения жидкои частицы в на правлениях ОХ, OY, OZ, а компоненты 1 f du . dv\ а Х у — ciух = 2 \ ~dy ~àx ) ' 1 / dv , dw\ = 2 ldF+ dy)' 1 / dw , d«\ Y\Tx + dz) a>x = a Y

1) массовые силы имеют потенциал, т. е. если существует такая функция U — U(х, у, z), что X — — dU dx ' у т . ду' Z — • dU, dz ' 2) если известна зависимость Р — Р (<>)• Тогда уравнение (32) перепишется: — dU—d где все диференциалы взяты при перемещении вдоль некоторой линии тока. Интегрируя, получаем: U+EL 1 + dp (33) Необходимо иметь в виду, что С есть величина постоянная только на данной линии тока, по вообще говоря меняющаяся при переходе от одной линии тока к другой. Интеграл (33) называется интегралом Бернулли Эйлера. Для несжимаемой жидкости (f. = const), нахо дящейся под действием силы тяжести, уравне ние (33) обращается в обычное уравнение Бер нулли, лежащее в основе всей гидравлики. Напра вив ось 07. вертикально вверх, имеем выражение для потенциала силы тяжести: Z = dU dz ' U = gz -(- const, где g == 9,81 м!сек' г — ускорение силы тяжести. Тогда: gz + ^ + f = C или, поделив на g и обозначив р g== t (удельный вес), Ч- -2g -+ т С. (33') той. ,у— есть та высота, на которую поднялась В уравнении (33') z есть высота рассматривае мой жидкой частицы над некоторой горизонталь ной плоскостью и называется нивелирной высо Ч 2 g бы материальная точка, брошенная вверх со ско ростью q; она называется скоростной высотой Наконец есть высота покоящегося столба жид кости с весом единицы объема у, создающего р давление р у своего основания; , называется пьезометрической высотой. Ура внение (33') гласит таким образом, что сумма трех высот — нивелирной, скоростной и пьезометрической — есть величина постоянная для любой точки одной и той же линии тока. у) Интеграл Ко ши-Лагранжа Другого вида общий интеграл можно вывести для безвихревого движения. Если в каждой точке вихрь скорости есть нуль, т. е. rot q — 0, то, как

трудности. Задача решается в общем виде точно до конца лишь для простейших конкретных слу чаев. Однако ряд задач допускает значительные упро щения. Например, ряд движений можно рассмат ривать как установившиеся, что упрощает иногда рассмотрение вопроса. Далее существует обшир ный класс безвихревых потоков, допускающих также более или менее полное исследование вопроса. Также в ряде практических задач дви жение в трех измерениях можно в силу симмет рии свести к двум, а иногда и к одноразмерной задаче. Но и при этих упрощающих условиях очень часто встречаются такие трудности, что задача до конца не решается. Еще более сложно обстоит дело, как будет дальше видно, если учитывать вязкость. Ниже выводятся общие интегралы для про стейших случаев движения идеальной жидкости. [Л Интеграл Бернулли В случае установившегося движения можно без труда найти общий интеграл эйлеровских урав нений движения. Как известно, в случае установившегося движе ния линии тока совпадают с траекториями. Возьмем основное, уравнение движения (см. уравнение 30): (F — ~а ) р — glad // é= 0. (31 } (31') Умножим уравнение (31') скалярно на элемен тарное перемещение жидкой частицы вдоль линии тока q • dt: (F, q dt) grad/i, q dt или X • и dt - f Y • V dt + Z àp .. .„ , dp w dt дх и dt Л-ZZ..V dt 1 ду - ( f ) dp dz w dt. Замечая, что udt — dx, vdt = dy, w dt можем написать: — dz X dx - f Y dy -j- Z d. T ) Лі dz dz^j . Так как движение установившееся, то р ~ ~р(х, у, z), и выражение dx • dy -)- f Л ~ ( jz есть полный диференциал tip, т. е. окон чательно: _ dp р; Это уравнение может быть легко проинтегри ровано, если: Xdx + Ydy + Zdz — d ( f ) (32) Замечая, что а — dt можно переписать (31) в виде: F- dq 1 . "rff ~ 7 Р ' ? \ àx ду dy